Задачи по теоретической механике для физиков - Ольховский И.И.
Скачать (прямая ссылка):
на линзу падает пучок электронов под малыми углами к оси z. Найти
фокусное расстояние линзы.
5.67. Заряд движется в магнитном поле Земли. Вектор-потенциал А = Где
ц, - магнитный момент Земли. Найти грани-
Г4
цы движения заряда в меридиональной плоскости. Качественно исследовать
характер движения заряда в экваториальной плоскости.
5.68. В электротехнике при расчете электрических цепей, содержащих
конденсаторы, индуктивности, сопротивления и сторонние э. д. с., весьма
удобным является метод Лагранжа. В этом случае в качестве обобщенных
координат удобно взять параметры <7г, характеризующие механическую
конфигурацию системы, и заряды Qi. Обобщенные скорости Qi являются
токами, текущими в проводниках. Лагранжиан системы складывается из
лагранжианов электромагнитного поля, механической системы и
взаимодействия полей и токов, т. е. имеет вид
П dV + Зисх AjdF-J cppw.
Энергия магнитного поля заключена в индуктивностях и равна
= ,<гл,; ^ = о,
i.fe
а электрического - в конденсаторах:
-L f iw= - у -
8я J 2 Ал Ct(q, 0
<В этих формулах Lik и С(- - коэффициенты индуктивности и емкости
соответственно, а суммирование ведется по всем контурам).
Джоулевы потери учитываются введением диссипативной функции
D= '>й-
где Ri - сопротивление t-того контура.
38
Уравнения Лагранжа
{Гл. 5
Электродвижущие силы St) действующие в i-том контуре, можно учесть,
вычисляя виртуальную работу бЛ^^бС?,, где Q, полный заряд, протекающий в
t-том контуре.
Найти уравнения Лагранжа для системы проводников и закон изменения
энергии в случае неподвижных проводников.
5.69. Найти функцию Лагранжа и уравнения движения для цепей, изображенных
на рис. 5.69, а) и б).
5.70. Замкнутая квадратная рамка может вращаться вокруг одной из сторон,
расположенной горизонтально. Рамка находится в однородном магнитном поле,
силовые линии которого вертикальны. Найти интегралы и закон движения
рамки.
5.71. Динамомашина переменного тока представляет собой совокупность двух
контуров: первый (ротор) с заданным током /i вращается под действием
заданного момента сил, второй (статор) - неподвижный. Найти ток /2 во
втором контуре и угловую скорость вращения ротора в квазистационарном
режиме.
а)
б)
Ряс 5 69
ГЛАВА 6
Линейные колебания
§ 1. Собственные одномерные колебания
6.1. Найти частоту колебаний точки массы т, движущейся по абсолютно
гладкой горизонтальной прямой и прикрепленной к пружине, другой конец
которой закреплен на расстоянии h от прямой. Жесткость пружины к, длина в
ненапряженном состоянии Iо.
6.2. Упругая пренебрежимой массы нить, длина которой в ненапряженном
состоянии 10=2а, перекинута через два гладких горизонтальных стержня,
расположенных на одном уровне на расстоянии а. Оба конца скреплены с
шариком массы т. Определить частоту вертикальных колебаний шарика, если в
положении равновесия нить образует равносторонний треугольник (см. задачу
5.28).
6.3. Бусинка массы т может двигаться по гладкой параболе y=kx2 с осью у,
направленной по вертикали вверх. Определить частоту колебаний бусинки.
6.4. Шарик массы т может двигаться по гладкой параболе у=рх3 с осью у,
направленной вверх по вертикали. Шарик прикреплен к двум одинаковым
пружинам жесткости х, навитым на параболу и жестко закрепленным другими
концами на одинаковых расстояниях от вершины параболы равных а вдоль
параболы. Длина каждой пружины в ненапряженном состоянии а. Найти частоту
линейных колебаний шарика.
6.5. По гладкой неподвижной окружности радиуса R может перемещаться точка
массы т, соединенная с пружиной жесткости х. Другой конец пружины
закреплен в плоскости окружности на расстоянии a>R от ее центра. Длина
ненапряженной пружины /о. Найти частоту колебаний материальной точки,
пренебрегая силой тяжести.
6.6. Точка массы т находится на пересечении прямого вертикально
расположенного кругового цилиндра радиуса R и плоскости, образующей угол
а с горизон-Л,--том (рис. 6.6). Найти функцию Лагранжа и частоту линейных
колебаний точки вблизи ее положения устойчивого равновесия (связь
считается гладкой). Рис 6 6
40
Линейные колебания
[ Гл 6
6.7. Найти средние за период линейных колебаний значения кинетической и
потенциальной энергий точки массы т, которая движется по гладкой линии
пересечения горизонтально расположенного цилиндра и плоскости, секущей
цилиндр так, что плоскость эллипса, образованного линией пересечения,
направлена под углом а к горизонту.
6.8. Точка массы т находится на гладкой кривой y=asinkx, расположенной
так, что ось х горизонтальна, а плоскость Оху образует с вертикалью угол
а. Определить частоту линейных колебаний точки.
6.9. Пусть потенциал взаимодействия двух атомов с массами т\ и т% равен
потенциалу Морза
U = U0e-2a<r-'°) - 2Ube~a<r-r'>\
где г - расстояние между атомами, a U0, а и г0 - постоянные. Найти
частоту линейных колебаний невращающейся двухатомной молекулы.
6.10. Нить (длины I) математического маятника массы т намотана на
горизонтальный неподвижный цилиндр радиуса а (см. задачу 5.29). Найти
