Лептоны и кварки - Окунь Л.Б.
ISBN 5-02-014027-9
Скачать (прямая ссылка):
испускающий эти бозоны, сохраняющимся. Теория, в некоторой степени
обладающая нужными нам свойствами, была предложена Янгом и Миллсом еще в
1954 г. вне всякой связи со слабым взаимодействием. Рассмотрим ее в
следующей главе.
19. КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
В основном эта глава посвящена обсуждению свойств теории: Янга-Миллса,
описывающей изотопический триплет безмассовых: векторных полей,
взаимодействующих с сохраняющимся током. Прежде чем приступить к описанию
теории Янга-Миллса, сделаем некоторые замечания о классификации симметрий
и рассмотрим несколько теорий, более простых, чем теория Янга - Миллса.
Все симметрии ^ожно разделить на две большие группы:, глобальные
симметрии и локальные симметрии.
Глобальная абелева симметрия ?/(1)
Простейшим примером глобальной симметрии является сохранение заряда,
выражающееся в виде инвариантности лагранжиана относительно
преобразования типа
ф-+ ф' = е*"<гф, ф -ф' = фе-*"<г,
где Q-заряд частицы, описываемой полем ф, а а-произвольное число, не
зависящее от пространственно-временных координат частицы. В роли заряда
могут выступать не только электрический заряд Q, но и другие заряды
(барионный В, лептонный L. и т. п.). Группа таких фазовых преобразований
называется U (1).
Различные преобразования группы U (1) коммутируют между-собой. Такую
группу называют абелевой. Если параметр а не зависит от Хц, то группу
называют глобальной. Итак, мы рассмотрели глобальную абелеву симметрию U
(1.)*
Глобальная неабелева симметрия SU(2)
Другим примером глобальной симметрии является обычная; изотопическая
инвариантность. При изотопическом преобразовании.
ф -> ф' = гф, ф ->¦ ф' = фе-** т,
где Т-матрицы, а о-параметры, как и в предыдущем случае,, не зависящие от
координат. Значение о-одно и то же и в Москве, и в Нью-Йорке, и на Луне.
Именно поэтому симметрия: называется глобальной. В случае простейшего
нетривиального>
180
19. КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
изотопического мультиплета-дублета
;где т-три матрицы Паули:
0 1 1 о
0 -
(J -?)•
Поскольку матрицы т не коммутируют между собой, симметрия SU (2)
называется неабелевой.
Локальная абелева симметрия ?/(1)
Рассмотрим теперь лагранжиан квантовой электродинамики, "описывающей
электроны, фотоны и их взаимодействия:
Здесь е-заряд электрона, д = дйуй, = д/дх^. Если ввести так называемую
ковариантную, или обобщенную (или в просторечии-длинную), производную
то лагранжиан примет вид -
= ф (Ш-т) ф-1fiFllvF^v.
.Легко убедиться, что этот лагранжиан инвариантен относительно
преобразования
ф -> ф' = ?*'"(•*) ф = SlJ), ф-> ф' = (ж) = ф5+ ,
тде а (х)-параметр, зависящий от мировой точки х. При этом
Напряженность поля
-инвариантна относительно этого преобразования. Следует подчеркнуть, что
если бы у фотона была масса, то локальная U (^-инвариантность нарушилась
бы, так как член /пМйЛй не переходит сам в себя при добавлении к
слагаемого дйа (х)/е.
Мы видим, что для локальной инвариантности-необходимо, чтобы
сохраняющийся заряд являлся источником безмассового ¦векторного поля. В
этом пункте имеется радикальное отличие электрического заряда,
генерирующего фотоны, от барионного, лептонного, мюонного зарядов, с
которыми, насколько можно •судить, не связаны специфические безмассовые
векторные поля:
3 = ф (id -f еА -т) ф-^ F^F^.
- -ieAp,
ОТСТУПЛЕНИЕ О БАРИОННЫХ И ЛЕПТОННЫХ ФОТОНАХ ч 181
барионные, лептонные или мюонные "фотоны". Поэтому этим зарядам отвечают
глобальные, но не локальные U (1)-симметрии.
При калибровочных преобразованиях физические (наблюдаемые) поперечные
компоненты фотонного поля Ax(k) и Ад (к) не преобразуются (импульс фотона
к направлен по оси г), а преобразуются лишь нефизические продольные
компоненты фотонного 4-вектора: Аг (k) и At (к). Сохранение векторного
тока обеспечивает ненаблюдаемость этих компонент.
Чисто формально локальную инвариантность можно было бы обеспечить
нефизическим (без J?kin) продольным полем, не вводя наблюдаемых векторных
полей и не интерпретируя продольное поле как нефизическую часть
векторного поля. Мы, однако, в соответствии с принятой в литературе
терминологией будем называть локальной такую теорию, в которой есть
безмассовое векторное калибровочное поле.
Отступление о барионных и лептонных фотонах
Выше мы сделали замечание о том, что барионные фотоны не существуют.
Поясним это утверждение.
Легко показать, что если барионные фотоны существуют, то их
взаимодействие с барионами должно быть очень слабым: ав < < 10~47 (это
следует сравнивать с а -1/137 для обычных фотонов). Такое ограничение
вытекает из равенства инертной и гравитационной масс, проверенного с
точностью до 10-1(r). Указанное ограничение на ав следует из того, что
барионные фотоны создали бы вокруг Земли своеобразное "кулоново" поле,
которое отталкивало бы барионы от Земли. Сила этого отталкивания была бы
пропорциональна числу барионов в образце, а не его массе, и была бы
различна, скажем, для свинцового и медного образцов с одинаковыми
