Лептоны и кварки - Окунь Л.Б.
ISBN 5-02-014027-9
Скачать (прямая ссылка):
токовой матрицы V в этом случае. Вообще говоря, матрица V содержит га2
комплексных чисел или 2л? реальных параметров. Условие унитарности
140
15. КВАРКИ ТРЕТЬЕГО ПОКОЛЕНИЯ
уменьшает число параметров до л2. Действительно, на диагонали мы имеем л
условий типа
VlftFfe+i = W=l,
а вне диагонали-7"л(л--1) условий типа ReFlftFJfe=-0 и 72л (л-1) условий
типа Im V1JkVit = 0, вытекающих из требования
Из оставшихся л2 параметров 2л - 1 представляют собой нефизические фазы,
которые можно "убрать", переопределив (ненаблюдаемые) фазы л а-кварков и
л-1 х-квар-I/ / / / Ч ков> так сказать, "повернув"
матричные эле-
. . . . \ менты. Полное число таких нефизических фаз
у= • • • • \ равно 2л-1, а не 2л, так как один из
• • • • \ матричных элементов матрицы V нельзя
\. . . . \/ "х-вращать", поскольку он уже"а-повернут"
(на рис. 15.1 этот матричный элемент нахо-Рис. 15.1 дится на
пересечении верхней строки и пра-
вого столбца).
Итак, полное число физических параметров оказывается равным л2-(2л-1) =
(я-I)2.
Выясним теперь, сколько из этих (п-I)2 параметров представляют собой углы
ортогональных поворотов, а сколько -фазовые множители. Число независимых
поворотов в пространстве л измерений равно гц = 72я (л - 1),
следовательно, число физических фазовых параметров равно
л" = (я-I)2-уп(я -1) =j(n -1)(л-2).
Рассмотрим простейшие примеры:
л = 2, четыре унитарные матрицы (1, т), ле = 1, п6 - 0, я = 3, девять
унитарных матриц (1, А,), ле = 3, щ - 1, л = 4, шестнадцать унитарных
матриц, ле = 6, лд = 3.
Матрица девяти кварковых токов
Рассмотрим теперь детально матрицу девяти токов в случае шести кварков:
f Vad ^as Vab \
V=[ Vcd vcs vcb ).
\Vtd Vts Vtb j
Как мы уже установили, девять матричных элементов этой матрицы могут быть
выражены через четыре параметра: три угла и фазу. В литературе известно
несколько различных параметри-
МАТРИЦА ДЕВЯТИ КВАРКОВЫХ ТОКОВ 141
заций матрицы V. Обратимся сначала к варианту Кобаяши-Ма-скавы (К-М), в
котором использованы углы Эйлера 01( 02, 03.
Рассмотрим тройку координат (z, у, х), которой мы сопоставим тройку
кварков (d, s, Ь). Совершим три поворота: на угол 03 вокруг оси г (рис.
15.2), затем на угол 0Х вокруг новой оси х, а затем на угол 02 вокруг
новой оси г. Последовательность этих поворотов описывается произведением
трех матриц:
1 0 0\ ' Ci si Owl 0 0 \
О с2 s2 )( - Si .Cl О Д 0 Сз S3 и
.0 - st cj V 0 0 1 / Vo- ss с3 J
где С[ = cos 0,, st = sin 0;.
Теперь нам осталось только вставить фазовый множитель е16. Ясно, что
ни в нача- Рис- 15 2
ле, ни в конце его вставлять нельзя, так как в этом случае он будет
нефизическим: его можно будет отождествить с ненаблюдаемой фазой одного
из кварков. Нетривиальный результат мы получим, если напишем, например,
(й.с.Т)/1 • 0 °\/ Cl Si 0ч /1 О О W<f'
(О с2 st JI - Si Ci 0 ) ( 0 cs s3 s
Vo -st ct/ V o 0 ec6J Vo . -s3 c3J \ bj
Перемножив матрицы, получим
(ц,с7Г)/ Cl SiC3 Sls3 \/d"
i-sic2. CiCgCg-el6sts3 CiCgSg+e^SgCg j I s
V sis2 - CjSgCg-el6c3s3 - Cis2s3 -j- е1йс2с3 J \ b .
Если предположить, что 6<^1 и все s, <^ 1, то матрицу К можно записать в
упрощенном виде
Г 1 Si SiSg N
V = ( - Si 1 Sg-f s&16 j.
V sis2 -St-s3e16 e16 J
Чтобы получить матрицу V в представлении Майани, необходимо совершить
последовательные повороты на угол 0, Р и у вокруг осей х, у и z
соответственно (две последние оси при этом уже повернуты), причем второй
поворот надо взять в обкладках из фазовых множителей, как это видно из
следующего произведения матриц:
1 0 0 , л о о ч / ср 0 sp. /10 0 \ / с9 se 0
° CV sv)( ° 1 oJ( 0 1 0 )(0 1 0 J( - S9 С9 (0
sv с?У \0 0 eie/V -sp 0 ср/Vo 0 е~16/ \ о 0 1
где cv = cos у, sv = siny, cp = cosP, sp = sinp, c9 = cos0, s9 = sin0.
Здесь следует подчеркнуть, что угол 0, хотя и близок к углу Кабиббо, но
не равен ему, а фазу б в матрице Майани лучше
142 15. КВАРКИ ТРЕТЬЕГО ПОКОЛЕНИЯ
было бы назвать б', чтобы отметить, что она не равна фазе б в матрице К-
М. Перемножение пяти матриц дает
Ve _ Ve V~"\
Ve cespV Ve sesgV Vv )'
s0sv_ceV/{ ~ Vv~SseVie J
Матрица Майани может быть более удобна для описания экспериментальных
данных, если имеет место иерархия sd^>Sy^> ^>sp, на которую указывают
экспериментальные данные. Если принять во внимание указанную иерархию и
пренебречь членами 1-су, 1-sesp и svsp, то матрицу Майани можно записать
в упрощенном виде:
/ се sB spe-"
V = ( ~se с9 sv
\s9sv-speM -sv- 1
Именно такому упрощенному виду матрицы Майани отвечает матрица
Волфенстайна:
1-jX2 Я ЛЯ*(р-it))
¦-Я 1 -у Я,2 ЛЯ2
ЛЯ3(1-р - tr)) -ЛЯ2 1
Из сопоставления двух последних матриц видно, что se = A, sy = А№, Spe~'e
= ЛЯ3 (р-it]). Имеющиеся экспериментальные данные можно суммировать
следующим образом:
А,=0,22, А = 1±0,2, р2 + т]2<0,3.
Как подчеркивают,Бьёркен, Дуниец и Чау, удобно вообще не вводить никаких
углов. Если существуют лишь три поколения кварков, то по существу есть
лишь два независимых комплексных параметра, в качестве которых можно
выбрать не измеренные пока Vab и Vtd. В силу унитарности матрицы девяти
