Лептоны и кварки - Окунь Л.Б.
ISBN 5-02-014027-9
Скачать (прямая ссылка):
М (е+е~ -*¦ 2лл) = ^ йеуаие ¦ va.
'Стандартная формула дает для сечения
а (е+е~ -> 2лл) = J 2 Тг ptfprfvav? d<D,
где Pi и р2-4-импульсы электрона и позитрона, a d<D-элемент разового
объема, q = p1-\-pi, q2 = s. В силу поперечности тока <(qava = 0) можно
записать, что
J vavld<S = n (qaq?-ga^q2) Р (?*)•
РАСПАДЫ Т ->¦ VT 1 15"
Это выражение служит определением безразмерной спектральной; плотности р
(<72). Вычислив след, получим
а (е+е~ -¦ 2пп) = 4л [2tfp$-(/?1У0а)] (q^-q*gafi) р (s) =
= [2 (Piq) М + (РхРг) <72] лр (s) = лр (s)..
(Мы воспользовались здесь тем, что Pi + д2 = <7, откуда следуете
PiP2 = Ptf = Prf = qV2-)
Если стандартным образом определить величину R (s):
o(s)=i2^/?(s), то можно выразить р через R:
R(s)
р (ф
6я2
В случае одночастичного состояния, примером которого может служить р-
мезон, если пренебречь шириной последнего, имеем
аФ = 8* ~Pl~л)6 d*q
лр (s) = 2лб (q2-ml) -ф-
так что
а(е+е~ -* р) = 16л3б(s-ml) = 12л2 еб(s-тйр).
Последнее равенство основано на том, что, как было показано выше,
Т(Р^е+е~)=*0.тр.
(Напомним, что формула Брейта-Вигнера для аннигиляции: е+е~ -+ р -"¦ 2л
имеет вид
а (е+е~ - о - 2л) = - -Hie_^_??>E_ а(е е -р-*М) ^ (?_тр)а + га/4 •
При Г->0
Г^2 лб (Ег-/Лр) = 2лт,,б (s-/Яр),
(?-/Яр)2-^-Г*/4
так что наш ответ согласуется и с формулой Брейта-Вигнера.^ Обратимся
теперь к распаду т-лептона:
М(т -к vT + 2пя) = ^ 1+ т")"т' •
116 13. РАСПАДЫ Т-ЛЕПТОНА
Вероятность распада с образованием системы 2пп с массой V s равна
4*Т =-°2.2т!9 Тг A/V* 0 + Vs) (Рх + mT)vP(l + у5) х
X n(qaqfi-g^q2) р (s) 2Е%? ,
где q = px-Pv. по поляризациям т-лептона проведено усреднение, я величина
p(s)-та же, что и в аннигиляции е+е~ ->¦ 2пя. Вычисляя след и интегрируя
по углам вылета нейтрино, получаем
- ?"Р (Pv/"r)] (<7a<7g -gatf2) Р (s) =
= [2 М (РхР) + М а2]Р(s)EvdEv =
= ^^^-(PvPx)(2pxq + q2)p(s)EvdEv =
= GW0 K + 2s)p(s)?^?v =
- (этг_ 4?v) /n^p (s) ?*d?v
<мы учли здесь, что pvq = pvpx, 2pxq^=m^-\-q2, s = m%-2Evmx). Переходя к
переменной s, имеем
,-rt / | A \ G2COS20 (/7Jt+2s) (zn(r) - s)2 , \ ,
dT(x-^v + 2nn)= 2Й 8 ml ------ P^*'
¦Формулу для dT (т -*- v + 2tin) следует сравнить с формулой для о (е+е~
-* 2пл). Для данного числа пионов и данного значения ¦S обе эти величины
выражаются через одну и ту же величину p(s). Чтобы найти полную
вероятность Г(т-> v-f 2лл), надо в dT подставить р (s) из а (е+е~ -*¦
2пп) и взять (численно) интеграл ло ds.
Проверим формулу для dT на примере распада т -* pv. В этом случае
Р (s) = 26 (q2-trip) m%/y2, .
r G2 cos2 0 (m2+2zn2)(zn2 -zn2)2zn2 - 8яу2 m% '
что совпадает с результатом предыдущего раздела. Проверим ее теперь на
свободных кварках:
j 3 J Тг р.2уар1У? ^ ^ 64(P\t)2-=
= 3|- {q2g^ + 2qtiqv) (g^g^ + g^vo.-g^gaэ) =
= 3-^ (Wfi-fgafi) = 2лр (<72) (<7а<7э -ga&q2) ¦
РАСПАДЫ т -с vT +2 ля
117
Сравнивая это выражение с кварковыми формула ив начале этой главы,
получаем Р=-|'' (Мн0житель 3 возник из-за суммирования по цветам
кварков). В результате для полной вероятности распада т -> v + 2пя
находим
Этот ответ согласуется с кварковой оценкой, полученной в начале этой
главы. Действительно, в пренебрежении массами кварков векторный ток дает
половину адронной ширины т-лёп-тона. Другую половину дает аксиальный ток.
(В выражении для вероятности эти токи не интерфирируют, так как векторный
ток дает четное число пионов, а аксиальный-нечетное.)
Интересно сравнить кварковые оценки для распада т -v + + 2пп и реакции
е+е~ -> 2пп. В последнем случае из полной величины
"необходимо выделить изовекторную часть Rlt т. е. перейти от
неинтерферирующих кварковых вкладов к неинтерферирующим изотопическим
вкладам. Учитывая значения зарядов кварков, найдем, что амплитуды токов с
Т- 1: (ии-dd) и с Т - 0: (uu + dd) относятся, Как 3:1, а соответствующие
вероятности - как 9:1. Следовательно,
Вспоминая связь R = 6я2р, мы видим, что наша новая оценка совпадает со
старой.
Итак, мы проверили на самосогласованнссть полученные нами формулы для
парциальной ширины распада т-лептона в четное число пионов. Подставив в
эти формулы экспериментальные данные о сечениях реакций е+е~ -*2я, *-4я,
е+е~-+6л и
осуществив численное интегрирование, можно получить
Экспериментальные данные в пределах ошибок согласуются с этими
предсказаниями.
"Н/ 2
Г* j 3 G2S!-^ (3mT-4EV) E%dEv =
3 G2 cos2 0/Ят J 19255?
/? = /?1 + /?0 = 3(Q2u+Q^)=4
Г (т -*• л>т2я) да 1,23Г (т -m), Г (т -т^я) да 0,ЗЗГ (т -ew), Г (т -тт6я)
^ 0,01 Г (т -evv).
118
13. РАСПАДЫ т-ЛЕПТОНА
Заметим, что практически все 2я-события как в е+е~-аннигиляций, так и в
т-распаде принадлежат р-резонансу. Наш результат для т -* vT2n
согласуется с результатом для т -vTp, полученным в конце предыдущего
раздела, если у2/4я да 2,5.
Суммарная ширина распада т в четное число пионов составляет примерно 1,56
Г(т-*-ew) и приблизительно на 10% превышает наивную партонно-киральную
оценку, согласно которой цветовой множитель 3cos20 поровну делится между
векторным и аксиальным током.
