Лептоны и кварки - Окунь Л.Б.
ISBN 5-02-014027-9
Скачать (прямая ссылка):
За исключением дополнительных цветовых матриц наша петля в точности
такая, какая встречается в ' квантовой электродинамике при расчете
поляризации вакуума:
- \а %ь Г 1 1 d*p 6аЬ . . \ "а
2 2 J ^'v р (2 л) ' - 2 ^
где а, 6=1, ..., 8, q-4-импульс, уносимый глюоном (см. рис. 7.6, б),
массой и-кварка мы пренебрегли, поскольку /па<^р. Знак минус перед всем
выражением возникает от следующих стандартных сомножителей, обсуждение
которых можно найти в любом учебнике по квантовой теории поля: (-1) для
замкнутой фермионной петли, (+1) для каждого фермионного пропагатора, (-
i) для каждого пропагатора векторной частицы, (~f-i) для каждой вершины,
(+ i) из-за перехода в d*p от dpt к idpA. Кроме того, следует учесть
связь S-матрицы с Г-матрицей: S = 1 -f- iT, и с лагранжианом: S = exp
(/J? d x).
Вид интеграла с точностью до безразмерного коэффициента 3* определяется
условием поперечности (оно, в частности, требует зануления квадратичной
расходимости). Чтобы найти S3, умножим левую и правую части на gtlv.
Тогда
+2iTri5
- + (If df.
поскольку
J-ТГ-2= a f dlp = л2 j р2dp2.
Таким образом,
L J*P , оГт, V z L3±±.?p
р 4 р р (2л)
4
2
Р-_______Lf^ = Lin^L
- 12я* J ра 12яа ца '
где верхний предел интеграла мы выбрали равным ml, так как при /?а > ml
происходит компенсация диаграмм рис. 7.5, а и 7.5, б, а нижний-равным ра,
поскольку при р2 < р2 свободный кварковый пропагатор должен
модифицироваться из-за невылетания кварка. В результате вклад диаграммы
рис. 7.6, а оказывается равным
9 2 - f\(tb /- lb - lb \
- V 2 G sin e cos 0^1n^ (d,y^asL) - l ay* у " + dy* у d J =
= - V2 G sin0 cos 0 In - (dLyilXasL)(uy,xXau + dy^d).
60 7. НЕЛЕПТОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ, МЕНЯЮЩЕЕ СТРАННОСТЬ
Заметим, что множитель l/q2 в пропагаторе глюона скомпенси-ровался
множителем qа, который дала кварковая петля. Так что эффективное
четырехкварковое взаимодействие, отвечающее диаграмме рис. 7.6, а,
локальное. Поскольку эффективная вершина испускания глюона при переходе
s-кварка в d-кварк обращается в нуль при <7* = 0, где q-4-импульс глюона,
то ее можно назвать монопольной по аналогии с монопольными
электромагнитными переходами в ядрах, в которых запрещено испускание
реальных квантов с <7а = 0, и происходит испускание пары е+е~. (Более
точно, gds-вершина является суммой монополя <7*уа и анаполя Я*У*Уь)
Поясним теперь, почему мы подставили в полученное выше выражение а,(р).
Буквально диаграммам рис. 7.6 отведает as (тс)у поскольку именно в точке
тс происходит обрезание петли. Можно показать, однако, что если учесть
одевание диаграмм рис. 7.6 дополнительными глюонами, то войдет
перенормировочный множитель (as(n)/as(me))*v>, где 2у3 = 8/Ь = 0,96" 1, и
в интересующем нас выражении as(mc) заменится на а,(.и). (Напомним, что
выше мы условились, что а,(р)=1.) Если ввести обозначение
1 ,тс
а*=&Г1п1Г-
то при тс/р" 10 получим, что ал"0,12. Таким образом, aR очень мало:
1" 1
aR ~Тat ~^as.
Тем не менее вклад диаграмм типа рис. 7.6 оказывается весьма существенным
из-за особой спиновой структуры оператора
- (иу*каи+dyV'Wd).
Дело в том, что этот оператор представляет собой сумму двух слагаемых:
-(4^^) {uLi4auL + dLy^adL) -_
- (dLyllkasL)(uRy^kauR+dRyllKadR).
Первое из этих слагаемых содержит лишь левые спиноры и из-за малости
коэффициента перед ним играет меньшую роль, чем операторы /3 и /",
имеющие ту же спиральную структуру. Поэтому при грубом расчете этим
оператором можно пренебречь. Второй оператор-мы назовем его IR-содержит,
наряду с левыми спинорами,-правые. Это обстоятельство, как мы уЕИдим в
гл. 9, в ряде случаев может сильно увеличить его вклад в-амплитуды
нелептонных распадов.
ЭФФЕКТИВНЫЙ НЕЛЕПТОННЫЙ ЛАГРАНЖИАН 61
Эффективный нелептонный лагранжиан
Соберем теперь вместе все члены упрощенного эффективного* кваркового
нелептонного взаимодействия с AS = 1:
(AS = 1) = V 2 G sin 0 cos 0 [a3I3 + atI3 + a^K],
где
/з,. = (dLyaUL) (uLyasL) =f (uLyauL) (dLyasL),
1r = ~ (dLyateL) {uRya%uR + dRya% dR), a3"3, a, "0,6, ал"0,12.
Оператор IR, так же как /3, является изотопическим спиноромг и,
следовательно, дает лишь переходы с АТ = 1/2.
Бели бы верхние линии на диаграммах рис. 7.5 и 7.6 изображали не только
и- и d-кварки, но и s-кварки, и если бы мы учли одевание этих диаграмм
бесконечным числом глюонов, то-полный эффективный лагранжиан нелептонного
взаимодействия., имел бы вид (Вайнштейн, Захаров, Шифман):
_ в
(AS = 1) = У2G sin 0 cos 0 2 cfi:,
i=i
где О,- четырехфермионные операторы, преобразующиеся по неприводимым
представлениям изоспиновой группы SU (2) и группы. SU (3) (ароматов):
Oi = djy^Ui'fUL - wh > S II Ю 4
03^dLyllsLuLy^uL+uLyllsLdL'fuL +
+ 2dLyViSLdLy>ldL + 2dLyllsLsLy,lsL, (W, AT= l/2)r
03 = dLyllsLuLy>luL + uLytlsLuLy>,'uL +
+ 2diV 4sLdLfdL-SdiYnSiS^Si, ({27}, > s II
°4 = UL'fUL + uLyilsLdLylluL -
. _ _ -dLy^sLdL-fdL, ({27}, AT = 3/2),.
Оь = dLy^esL (ик^Каик+du'ftedn+sR-fkasR), ({8}, AT = l/2)r
03 = (uRy"uR + dRy"dR + sR-fsR), ({8}, > s II
