Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
<?і(х), <р2(х)...9*(х),.-.
ортогональна на (а; Ь) с весом Y = P (х), где р (х) > 0 на (а\ Ь).
Пусть нам дана некоторая ортогональная на (а; Ь) с весом К (х) > 0 последовательность функций:
9i(x), 9г(х).....9k(х).-•• (1)
Рядом по системе (1) называется всякий ряд вида:
Ci 9i(x) + с2<р2(х) + сп<рп(х) + ... (2)
(где C1. Ci,... — числовые коэффициенты).
Пусть теперь ф(х) — какая-либо функция*, заданная на (а; Ь).
* Для определенности, читатель может считать функции (х) , <рв(х), . . ., 9а (*).¦•• . а также ^ (х) и у (х)— непрерывными на [а; 6]. Однако большая часть дальнейших рассуждений остается в силе и для любых, интегрируемых на [а; ЬJ функций, например для функций, ограниченных на (а; Ь) и имеющих лишь конечное число точек разрыва.
§9
151
Допустим, что функция ty(x) может быть разложена в ряд
(2) и что этот ряд равномерно сходится на отрезке (a, b). В этом случае коэффициенты ряда (2) можно легко найти. Для этого умножим обе части равенства
(*) = C1 (P1 (х) + саъ{х)+... H- ck 9* (х) H-...
на 9* (*)?(*) (при фиксированном Л). Тогда
Ф (х) Vk (X) T (х) = Ci 9i (X) 9Л (X) -г (X) + Ct (р., (х) 9* (х) т (х) + ... +
+ С*1?Л И!1 Tf (*) + ••• (3)
Если ряд (2) равномерно сходился, то также равномерно будет сходиться и ряд (3) (после умножения всех членов ряда на ограниченную функцию, его равномерная сходимость не нарушится). Проинтегрировав почленно равенство (3) в границах от а до
ь
b, получим (учитывая, что j 9, (х) <pk (х) f (х) dx = 0 при і ф к):
а
Ъ Ъ
j 9 (X) 9k (X) 7 (X) dx = ck j [9Л (X)Ia 7 (х) dx,
а а
откуда
ь
J ty (*) 9k (х) 7 (X)dx
a ,Ai
j‘l?A (*)]*ї (*)<**
а
Числа Ck называются коэффициентами Фурье функции ty (х) по ортогональной системе (9*(х)}, а ряд (2) с этими коэффициентами— рядом Фурье функции ty(x) (по системе {9Л (л:)}).
При выводе формул для вычисления коэффициентов Фурье мы заранее предположили, что функция ty (х) может быть разложена в ряд (2) и что этот ряд равномерно сходится на (о; Ь). Однако проверить, выполняются ли эти условия для функции ty(x), мы, вообще говоря, не можем. Поэтому поступим следующим образом: построим формально по данной функции ty(x) ряд (2) (вычислив его коэффициенты по формулам (4)) и выясним, стремятся ли частные суммы Sn (х) этого ряда к ty(x) (при оо).
Ho тут мы сталкиваемся со следующей трудностью: оказывается, даже для таких простых систем ортогональных функций, как тригонометрические системы или система полиномов Лежандра, модуль разности | ф (де) — Sn (х) | не обязательно стремится
152
Часть I!
к нулю во всех точках основного интервала; так, например, если дана система
sin*, sin 2*....sinnx...
на отрезке (0, тс), то можно построить такую непрерывную функцию ф (х), что ее ряд Фурье по этой системе расходится на бесконечном множестве точек.
Поэтому мы несколько видоизменим задачу: вместо того, чтобы оценивать модуль разности / ф (jc) — Srt (jc) |, оценим интеграл от этого выражения:
j I; (*) — S„ (х) I dx.
(5)
Если этот интеграл стремится к нулю при оо, томы скажем, что ряд Фурье сходится в среднем к ф(х). Геометрически это означает, что площадь области, заключенной между линиями у — Sn (х) и у = ф (х), стремится к нулю при п -+ оо (рис. 57).
При оценке интеграла (5) нам придется иметь дело с интегралом от модуля; а модуль, даже от элементарной функции, является слишком сложной функцией и трудно поддается исследованию (в частности, вычисление и исследование интеграла от модуля функции является нелегким делом). Поэтому вместо модуля разности будем рассматривать квадрат разности: ясно, что квадрат некоторой величины мал тогда и только тогда, когда ее модуль мал; в то же время ясно и то, что квадрат функции проще и легче поддается исследованию, чем модуль функции.
Итак, выясним, стремится ли к нулю интеграл
Рис. 57
j [ф (х) — S„(x))*dx.
(6)
Если да, то говорят, что ряд Фурье сходится в среднем квадратичном к ф (л:).
В тех случаях, когда семейство функций Cpl (х), <р2 (х),...,
§9
153
9*(*)» • • • ортогонально с весом ^(х), мы будем оценивать интеграл от квадрата разности с весом т (х), т. е. интеграл
ъ
J [ф (Jt) -S„ (X) ]*т (X) dx; (7)
если он стремится к нулю (при Я-*оо), то говорят, что ряд Фурье сходится к ф (х) в среднем квадратичном с весом ? (х). Итак, оценим интеграл (7), учитывая при этом, что
ь
J Ф (*) ?а (*) 7 (*) dx
Sn (X) = C1 ф, (X) H-... -I сп 9„ (х), и что ck =-. -----------------.
j I?* (*)]а 7 (*) dx
а
Квадратный корень из интеграла (7) называется квадратичным отклонением функций ф(х) и Sn(x) и обозначается St (ф, Sn). Поэтому интеграл (7) равен квадрату этого отклонения:
ь
[ Йт (ф, Sn)]2 - j I ф (X) — Sn (X) Iя 7 (х) dx =
Ф(*) — ^iCkCpk(X) k=.\
7 (де) dx =
п
=J фа —2ф 2 ck cPk H~
і A=I
A=I n b
J ф* J Ф 9аT dx H- j і] ck 9Л I ^dx.
Ь / п
V
А=»1 а
а \А=1
Возводя в квадрат сумму ХсЛ9Л и учитывая, что интегралы
A=I
от произведений 9, 9^ т (при і /- j) равны нулю, получим
