Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Средней скоростью изменения функции вдоль дуги MM1 называется отношение приращения функции (при переходе от M к M1) к длине дуги MM1.
Средняя скорость равна
fW-fi'*)
9
Однако средняя скорость еще не вполне характеризует быстроту изменения функции: на отдельных участках дуги MM1 эта скорость мала, на других — велика. Беря среднюю скорость» мы не можем оценить поведение функции вблизи какой-либо точки М. Для того чтобы сделать это, будем брать все более и более короткие участки дуги MM1. Переходя затем к пределу (заставляя M1 двигаться вдоль данной кривой, неограниченно приближаясь к М), получим истинную скорость изменения функции в точке M (по данной дуге) или,
иными словами, производную по дуге --------
в точке М.
Дадим теперь точное определение производной по дуге. Для этого предварительно введем понятие на- рис. 3
правленной кривой.
Пусть задана кривая L, проходящая через точку Mt и на этой кривой выбрано некоторое направление движения (например, то направление, которое указано стрелкой на рис. 3). Кривая с выбранным на ней направлением называется направленной кривой. В дальнейшем под словом «кривая» или «дуга» мы будем подразумевать только направленную кривую.
Если L — направленная кривая, a M и M1 — две точки на этой кривой, то под символом w MM1 понимают длину дуги MM1, взятую со знаком «плюс», если точка M1 следует после точки M (в соответствии с выбранным направлением на кривой), или со знаком «минус», если точка M1 предшествует точке М.
Производной по дуге L в точке M называется предел, к которому стремится отношение
/(Af1)-Z(Af)
^MM1
когда точка M1, двигаясь вдоль дуги L, стремится к точке M (рис. 3).
Поставим перед собой задачу вычисления производной по дуге.
Обозначим производную по дуге L через ~.
Тогда
= Iim f (MJ-f (M)
dL MtI м ^ AfAfi *
вдоль L
Й числителе этой дроби стоит приращение функции трех пере-менных. Если считать, что функция /(M) дифференцируема, то приращение функции можно заменить приближенно полным диф-
10
Часть I
ференциалом. Совершаемая при этом ошибка В является бесконечно малой более высокого порядка, чем р (где р — расстояние от точки AI1 до At). Поэтому
df А df df
дх ди dz ^
= Iim ——-------------—-----------------------------------. (1)
df
DL
Af1-M вдоль L
Найдем пределы дробей
Дх
V—'Af Afi
Ьу
Az
^MMi
wAJAfi
^MM1 •
(рис. 4), считая, для оп-
Рассмотрим, например, Iim
Mt~* M
ределенности, что точка М, следует после M (в соответствии с выбранным направлением по кривой), т. е. что дуга w MM1 положительна*:
Ьу _ и™ ЬУ
1,т ~ПТТ = Iim і ла лл .
Mi-*м MM1 мх-+м\ММ\\
AfAI1)
w AfAfi *
Второй сомножитель в этом произведении является отношением длины хорды I MM11 к дуге, которую стягивает эта хорда. Как известно из анализа, это отношение стремится к единице (при условии, что касательная существует и непрерывна** на участке MM1). А отноше-Au
ние . является коси-I MMi і
нусом угла P1, составленным хордой MM1 с осью Oy. Предел этого отношения, следовательно, равен косинусу угла р между касательной к L (в точке М) и осью Oy (точнее косинусу угла между касательным вектором к L в точке M и положительным направлением оси Oy):
Ьу
Iim
Mt-* M
MM1
= Iim
Mt-M
А у I MMi I
I AIAf11 ' ^MM1
COS P • I = COS р.
* Читатель может легко проверить, что окончательный результат не изменится, если точку Al1 приближать к точке M с другой стороны.
** Говорят, что касательная непрерывна в точке M' дугн L, если угол между касательными в точках M' и М" стремится к нулю при М"-*-М' (вдоль дуги L). Если кривая всюду на участке AB имеет непрерывную касательную, то эта кривая называется гладкой на участке AB. Если же дугу AB можно разбить на конечное число гладких участков, то эта дуга называется кусочно-гладкой.
11
Аналогично найдем Iim -4лг =cosa, Iim = cosт.
Af1-Afv^7w7wI Af1-Af w/w/wl
Далее
і¦ S В I AfAf11 Л
~ - °-
В самом деле, В есть бесконечно малая более высокого порядка малости, чем р (т. е. чем | MM11), и поэтому ¦ д^-у -> 0. Переходя к пределу в равенстве (1), получим
~аГ = ~дх~ cos a ~ЇЇу cosP ~W cos№
df df df .. где частные производные , , взяты в точке М,
а а* Р» T — углы, составленные с осями координат касательным вектором к направленной кривой L в точке М.
Из этой формулы вытекает следующий результат:
Производная по дуге L в точке M не зависит от вида дуги, а зависит только от направления касательного вектора KLe точке М.
Или, иными словами, если кривые L1 и L2, проходящие через точку М, имеют в Рис. 5
этой точке один и тот же касательный вектор, то производная в этой точке по дуге L1 равна производной по дуге Li (рис. 5).
Доказательство этого непосредственно следует из формулы (2). В силу сказанного можно в дальнейшем говорить не о производной по дуге, а о производной по направлению:
Производной по направлению вектора т в точке M называется производная по любой дуге Lt проходящей через точку M и касающейся вектора т.
