Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
Аналогично формуле (4) (или формуле 4') вычисляется поток через часть ^-поверхности или через часть ^-поверхности.
Пример. Вычислить ПОТОК векторного ПОЛЯ Л=р20<?р + рЄ2нЄн через верхнюю полусферу S с центром в начале координат радиуса а (в направлении внешней нормали сферы).
Здесь поверхность S является частью координатной р-поверхности (в сферических координатах). На 5 координата 0 ме-
0 до 2гс. Поэтому, если учесть, что Hh ~ р, H9 — р sin0 и что на поверхности S имеет место р = const (р = а), получим
Вычисление дивергенции векторного поля. Для того чтобы подсчитать дивергенцию векторного ПОЛЯ
Ь d
п = j j A,(g„ Яг* Яя)Ні(Яі, Яг* Яз) H2(qit q2, q3) dq2dqv (4r)
a с
Рис. 46 Рис. 47
7t
няется от 0 до у (при любом ср), а полное изменение <р — от
It
f [— 0 cos 0 + SinOJ2 cfcp = a4 I d© = 2тса4, б 0 Ь
А = A1 (qu q2, qs) C1 + A2 (qlt q2, q3) C2 + As (qlt q2, q3) e3, (I)
90
Часть /
Рис. 48
воспользуемся ее определением:
IK An)dS
div А — Iim -—J7— , v-*m v
где V — область, включающая точку М, a S — поверхность, ограничивающая эту область; предел берется при стягивании об-
ласти V к точке M. Так как этот предел не зависит от формы области V (лишь бы эта область включала точку М), выберем ее наиболее удобным для вычисле-|М| ний способом. Для этого проведем координатные линии через точку M и на этих линиях отложим (в сторону возрастания соответствующей координаты) дуги АШі, MMit MM8. Затем на этих дугах построим криволинейный параллелепипед («ребрами» которого являются дуги координатных линий, а «гранями» — куски координатных поверхностей, рис. 48). Если дуги MM1, MMi и MMa достаточно малы, то их можно приближенно считать отрезками прямых. Поэтому, в силу ортогональности координатной системы,
V 3* MM1 • MMi. MMs.
Подсчитаем теперь, чему равны ребра этого параллелепипеда. Если координаты точки M таковы: M(qlt q2, q3), то точки M1, Mi, Ma определяются следующими координатами:
(ft + Aqv q2, qa), M2(qlt q2 + Aqa, qs), M2(qv q2, qa + Aq3).
Поэтому (см. формулы (I) на стр. 81)
MMi s* HiAqv MM2 s H2Aq2, MM3 ss H3Aq3 *.
Итак,
V ^ HlH2H8AqiAq2Aq8.
Вычислим поток векторного поля через поверхность 5 (границу области Vr). Поток П через всю поверхность является суммой потоков через 6 «граней» параллелепипеда; вычислим эти потоки.
• Мы пишем Aft, а не |Д<7іІ, так как Aqi >0 (дугу MMi мы откладывали на координатной линии в сторону возрастания координаты ft). Аналогично для Дqt и Дqb.
SaliMausiWl
1Н8ниебезераниц
§ 18 91
Вычислим сначала поток через пару противоположных граней MMi М\ M9 и Mi M0 Mo Mi Для этого применим формулу для вычисления потока, выведенную выше (стр. 89):
Пя = Jj (An)dS=- j j Ai (qltqit qa)H^ql qtq9) У
MMtMi Mt 4* 9l
X Ha(qu q2, qa)dqidq9;
___ Qt+fQt Qi+*Qi
П2 = J J , , n)dS== J JA (9u Яг + Д<7a. <7s) X
MtMtMtMt q‘ Ql
X (Яі>Яг H“ &Яг> Яа) Ha (^1, + &Яг* Яa) dЯ\ dЯa•
Знак «минусэ в первом из этих интегралов поставлен потому, что поток через поверхность MM1 М\ Ma берется не в направлении вектора ел, а в противоположном (так как внешняя нормаль всюду на этой поверхности равна — е2). Заметим, кроме того, что на каждой из этих поверхностей вторая координата постоянна (на поверхности MMiMxMa она равна Яг• а на поверхности Mt M0 M0 МЇ она равна qa + Aq2). Сложим вычисленные потоки (т. е. найдем поток через пару площадок MM1 MtM9 и Mi M0 М0М'2):
па + П2 = J J
Qt Qt
Qt+bQt Qt+bQi
= ! I
Л H1 н. - At H1Н,
Qtt Qt + &Qtt Q*
dQ\ dqa—
fii Qtt Qil
Qt Qt
• А Яг dqi dq9.
Qi* Q1 tQi
Здесь мы применили под интегралом теорему Лагранжа о конечных приращениях к функции Ai H1 H9 (по переменной qt).
Для того чтобы завершить вычисление IT2 + П2, проще всего было бы применить теорему о среднем к полученному двойному интегралу; однако этого делать нельзя, так как
в подинтегральную функцию, кроме qt и ^8, входит также ql> которое уже не постоянно, а зависит от qif qa. Поэтому применим следующий прием. Пусть функция -Ц- (A2H1H9) (которая
OQ 2
предполагается непрерывной) достигает в нашем прямоугольном
92
Часть I
параллелепипеде наибольшего значения ц и наименьшего т. Тогда наш двойной интеграл заключен между интегралами:
<7і-ЬЛ<7» <7і+д<7»
j j mAq2 dqx dqs и j j цДq2 dqx dq3,
<7i Vi Vt Vi
т. e. между числами
!TiAql Aqi Aqa и ^Aql Aq2 Aq8.
Иными словами,
Hi-Aql Aq2 Aq3 < П2 + П. < ц-Дqv Aq2 Aq3,
Ha + и;
или
m
Aql Д<7а ДqM
< р.
Так как m — наименьшее, а ц—наибольшее значение непрерывной функции в параллелепипеде, то в этом параллелепипеде найдется точка Mepi такая, что в ней эта функция в точности равна
Ila+ п'
промежуточному числу д д~д9 •> Т. е.
Oq2
(A2 H1H3)
= II8 4- П
Afcp д<7ід<7ад<7з ’
Oq2
(Ai H1 ^з)|Мср • bqi д<7а
Аналогично вычисляются потоки через другие пары противоположных граней:
II1 + п; = -jL (A1 Н, Hs) I . Aft Ag, Д<?»,
П, + H3-^7 (A, H1 Нг)
Afcp
^qі ^q г Д^з»
где Mcp и Mcp — какие-то точки, лежащие внутри параллелепипеда. Итак, весь поток через замкнутую поверхность, ограничивающую параллелепипед, таков:
