Методы математической физики - Очан Ю.С.
Скачать (прямая ссылка):
3, пример 3) и попытаемся задать его аналитически. Сила f, приложенная к точке С единичной массы, направлена по радиус-вектору R (в сторону, противоположную радиус-вектору) и численно равна Поэтому
P — т ™ . J"**
і/? Iа itfi Itfis
здесь взято произведение численной величины силы на единич-
5 _
ный вектор ——направленный вдоль вектора F; знак «минус» Itfl _ _
указывает на то, что векторы FuR направлены в противопо-
* Буквами х, у, г обозначены декартовы координаты точки М. Мы
предполагаем, что в пространстве задана декартова система координат Охуг.
6
Часть I
ложные стороны). Переходя к координатам и учитывая, что R — xi + yj + zk, IRI = У х* + У2 + Z2 . получим
P im(xi+yj+Zk)
(х2 +У2 + Z2) 2
Рассмотрим специальные виды полей.
Скалярное поле называется плоскопараллельным, если в
пространстве можно выбрать декартову систему координат так, чтобы величина, задаваемая этим полем, не зависела от одной из координат (например, от г). Скалярное плоскопараллельное поле можно задать формулой u = f(x, у).
Векторное поле называется плоскопараллельным, если в
пространстве можно выбрать декартову систему координат так, чтобы вектор поля не зависел от одной из координат (например, от г) и был расположен в плоскости, где эта координата постоянна (т. е. в плоскости z = const). Векторное плоскопараллельное поле можно задать формулой А — P (х, у) і + Q (х, у) j.
Всякое плоскопараллельное поле можно изучать только на плоскости Oxy (так как в любой плоскости, параллельной плоскости Оху, картина будет одна и та же). Поэтому плоско-параллельное поле называют также плоским полем.
Среди скалярных полей следует выделить также, как частный случай, сферические поля.
Скалярное поле называется сферическим, если скалярная
величина, определяемая полем, зависит только от расстояния между точкой и началом координат. Такая величина постоянна на каждой сфере с центром в начале координат.
Скалярное сферическое поле задается формулой
и / ( \ х- } //" 2“ ).
Так, например, модуль силы притяжения точки M (л\ у, г) единичной массы к точечной массе т, расположенной в начале координат, является сферическим полем:
Введем понятие непрерывного поля.
Скалярное поле и = / (M) называется непрерывным в точке M0, если разность /(M) — /(M0) стремится к нулю при стремлении точки M к M0. Точнее говоря, это поле непрерывно в точке M0, если для любого числа є > 0 можно найти такую окрестность
знание Ces ераниц
SJ______________________________________________________ 7
точки M0, что для всех M1 принадлежащих этой окрестности, выполнено неравенство
IZ(M)-Z(M0)I <е.
Если скалярное поле задано аналитически в декартовой системе координат:
« = /(*. У> z),
то непрерывность этого поля в точке M0 (х0, у0, z0) равносильна непрерывности функции /(х, у, г) в этой точке.
Аналогично определяется непрерывность векторного поля A(M) в точке M0: это поле непрерывно в точке M0, если для любого є > 0 можно подобрать окрестность точки M0 такую, что для всех точек М, попавших в эту окрестность, имеет место неравенство
|7(М)-Д(М0)|<«.
Если векторное поле задано аналитически:
A =PJ+ Qj+ RK
то непрерывность этого поля равносильна непрерывности всех трех функций: Р(х, у, z), Q(x, у, z), R(x, у, z).
Так, например, поле сил тяготения (см. стр. 5) непрерывно всюду, кроме начала координат.
Следует заметить, что, изучая поля в математической теории поля, мы не придаем конкретного физического смысла той величине, которая задана в этом поле. И.шми словами, здесь рассматриваются только самые общие свойства полей — такие, которые присущи любому скалярному (или любому векторному) полю. Результаты, полученные в общей (математической) теории поля, затем, в физике, применяются к конкретным физическим полям, например к электромагнитному полю, или к полю температур и т. д. Такие конкретные поля изучаются различными разделами физики: к тем общим свойствам полей, которые рассматриваются в векторном анализе, добавляются свойства, характерные только для того или иного конкретного поля.
5 2. Скалярное поле. Поверхности уровня. Производная по дуге
Рассмотрим скалярное поле
и = f(x, у, г).
Геометрическое место тех точек, для которых величина и принимает одно и то же числовое значение С, называется поверхностью уросня, соответствующей числу С.
8
Часть I
Например, для поля
U=X+у+г
поверхностью уровня, соответствующей значению 1, будет плоскость
X + 1/ + 2= If
поверхностью уровня для значения 2— плоскость
¦x+y+z=2
и т. д.
Для любого сферического скалярного поля поверхностями уровня являются сферы с центром в начале координат; например, для поля
1
**+»¦ + 2*.
поверхностью уровня и = 4 служит сфера
* -4
х* + у*+г*
или
Xі + уг 4- Za = 4" •
Рассмотрим теперь какую-либо точку М(х, у, г), в которой определено скалярное поле. Если из этой точки переместиться в другую точку M1 (xlt ylt Z1), то значение функции может измениться— увеличиться или уменьшиться. Совершенно ясно, что при перемещении точки вдоль различных кривых скорость этого изменения будет различной. Так, например, если точка движется вдоль кривой, лежащей на поверхности уровня, то функция не будет изменять своего значения. Если же двигаться вдоль кривой, соединяющей точки на различных поверхностях уровня, то значение функции будет изменяться с той или иной быстротой. Для того чтобы оценить скорость изменения функции при перемещении точки вдоль некоторой кривой, введем понятие производной от функции вдоль кривой.
