Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Обморшев А.Н. -> "Введение в теорию колебаний " -> 70

Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний — Москва, 2000. — 278 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriukolebaniy2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 .. 72 >> Следующая


—{— Hsin (at —j— 6), I (4.133) MX2 — b2 (x2 — X1) — C2 (x2 — X1). )

Пользуясь общими формулами (4.78), (4.80), (4.81), найдем амплитуду вынужденных колебаний основной массы:

( *\2 _ И2__________________(с2 — та2)2 + b\a2________________

'ai' I^c1 — Ma2) (с2—та?)—с\ /то2]2 -)- 62®2 (C1-Ма>2—-тлю2)2'

(4.134)

Перейдем к безразмерной форме полученного уравнения, введя следующие обозначения:

H / ?

аст = _-статическая деформация системы; CD0= у —

собственная частота виброгасителя; Q0 = "|/"— собственная частота основной системы; z =----------отношение частоты

вынужденных колебаний к собственной частоте основной системы; / = — отношение собственных частот; V =-г;--

Wo т

отношение массы виброгасителя к массе основной системы

ct* Ь

rK=—і------коэффициент динамичности; I = ----безраз-

мерный коэффициент затухания.
272

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. IV

Тогда уравнение (4.134) запишется в следующем виде:

(2|г)2 -)- (/2 — г2)2 (2Iz)2 (I — 22 — V22)2 + [(/2 — Z2) (I — Z2) — VZ2f2]2 •

(4.135)

Из этого видно, что при заданных V, / существует такое значение z, когда имеет место следующее соотношение подкоренных выражений:

(/2 — г2)2 1

[(/2 — Z2) (I — Z2)- V22/2]2 _ (I -Z2-VZ2)2

(4.136)

Очевидно, в этом случае коэффициент динамичности X не зависит от затухания Следовательно, как бы мы не старались введением демфера уменьшить колебания системы, при некоторых значениях со возмущающей силы, соответствующих корням уравнедия (4.136), мы все равно не достигнем желаемого результата. Именно это обстоятельство и

позволяет нам найти алгоритмы оптимальной настройки виброгасителя. Действительно, в указанном нами случае амплитуда вынужденных колебаний будет определяться лишь значением двух параметров v и /. Поэтому уместно поставить задачу отыскания такого соотношения v и /, при котором X в случаях, когда демпфирование не оказывает свое действие, будет возможно минимальным при всех корнях уравнения (4.136).

Так как уравнение (4.136) положительных корней имеет всегда лишь два Z1, Z2, то наименьшее значение X можно достигнуть в случае, когда оно будет одинаково при обоих корнях, т. е. когда

X (Zj) = X(Zl). (4-137)

Эти функциональные выражения не обязательно находить из уравнения (4.135), они могут быть легко получены, если учесть, что X в этом случае не зависит от | и, следовательно, равна отношению (4.136), поэтому имеем право условие (4.137) представить в развернутом виде, взяв правое соотношение равенства (4.136)

----1----2=1-------1-----г- (4Л38)

I -Z21-VZ21 1 — z\ — VZ2

'Отсюда видим, что если Z2 > -T-J—, что обязательно

I-J-V

имеет месго при одном из корней Z2, Z2, то получим отри-
§ И] ДИНАМИЧЕСКИЙ ВИБРОГАСИТЕЛЬ С ЗАТУХАНИЕМ 273

цательное значение К. Так как физически это означает, что колебания по фазе смещены на 180°, а мы в уравнении (4.138) должны приравнивать к одного знака, то написанное уравнение можно откорректировать умножением на —1 одной из его частей, не нарушив при этом физической сущности процесса. Далее, используя свойство корней квадратного уравнения, нетрудно из (4.136), (4.138) получить следующее соотношение *)

Это выражение дает нам условие оптимальной настройки виброгасителя, т. е. при выполнении полученного условия амплитуды колебаний основной системы при тех значениях частоты возмущающей силы, когда на них не сказывается влияние вязкого сопротивления, будут одинаковыми и минимально возможными. Таким образом, приходим к выводу, что в случае переменной частоты возмущающей силы и наличия демпфера, гаситель колебаний должен быть настроен на частоту со0 несколько меньшую, чем Q0, причем это «смещение» частоты CO0 тем больше, чем больше отношение масс V.

Подставив один из корней уравнения (4.136) в соответствующее скорректированное соотношение равенства (4.138), нетрудно вычислить значение амплитуды для рассмотренного случая. В результате преобразований получим

Теперь наша задача сводится к тому, чтобы введением оптимального затухания амплитудная характеристика К (Z) не превышала значения (4.140) хотя бы при одном из двух корней Z1, Z2, т. е. чтобы один из ее экстремумов был равен ]/l-J-2/v. Для этого продифференцируем (4.135) по z, выразив в нем / через v из (4.139), и приравняем нулю в точке z\, а затем в точке z\. Эти вычисления приводят к следующим результатам:

(4.139)

(4.140)

I2I

*) Подробнее CM. книгу [10].
274

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. IV

Практически целесообразно брать некоторое среднее значение из двух полученных выражений

O9 3v

8 (I + V)3

(4.141)

Это выражение позволяет определить оптимальное затухание при выбранном V.

В качестве примера может служить жидкостной стабилизатор Фрама, используемый для успокоения качки корабля (рис. 112). Принцип его действия уже рассматривался ранее в § 8. Там же были получены уравнения движения системы корабль-стабилизатор. Сравнив их с (4.133), увидим, что имеется некоторое различие, однако принцип изложенных здесь предпосылок этим He упраздняется, а, наоборот, получает еще более глубокое развитие. В конечном итоге оптимальная настройка стабилизатора Фрама может осуществляться относительно частоты / путем соответствующего выбора S, которым определяется коэффициент возращающего момента с, а также относительно | путем изменения дросселирующего отверстия D (рис. 112) в верхней части поглотителя.
Предыдущая << 1 .. 64 65 66 67 68 69 < 70 > 71 .. 72 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed