Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Обморшев А.Н. -> "Введение в теорию колебаний " -> 68

Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний — Москва, 2000. — 278 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriukolebaniy2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 .. 72 >> Следующая


Так как на концах балки (т. е. при х = 0 и X = Z) прогиб и изгибающий момент равны нулю, то в этих точках

Отсюда имеем четыре уравнения для определения четырех постоянных:

C~f? = 0, С — E = O,

С ch kl +- D sh kl +- E cos kl-\- F sin kl = 0,

C ch kl -j- D sh kl — E cos kl — F sin kl = 0.

Из первых двух уравнений вытекает, что C = E= 0, а тогда последние два будут совместны лишь в том случае, если

sh kl sin kl = 0.

Ho sh kl обращается в нуль только при kl = 0 (не считая мнимых корней), что же касается sin kl, то он обращается

в нуль не только при kl = 0, но и при kl = я, 2л, In,

т. е. вообще при

где Z=I1 2, 3, ... Тогда D = 0, а величину F мы можем присоединить к постоянным А и В. Общее решение уравнения (4.117) можно записать теперь в виде

где kt определяется из (4.122), a pt найдем, если в выражение (4.121) подставить значение k (4.122) и а (4.118), в итоге будем иметь

Формула (4.123) дает значения циклических частот последовательных типов колебаний. Нас интересует в данной задаче только основное колебание, т. е. колебание, имеющее место при I= В таком случае

(4.122)

І = OO

у = 2 (Al cos PiijT &i sin ptt) sin ktx

(4.123)
266

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. IV

а период т будет равен

T = 0,63662 |/~(4.124)

В заключение сравним результаты, полученные различными методами (4.95), (4.103),(4.105), (4.113) и (4.124). Выпишем коэффициенты, стоящие при корнях выражений периода (4.95), (4.103), (4.105), (4.113) и (4.124):

0,63617; 0,63618; 0,63651; 0,66195; 0,63662.

Из числовых коэффициентов видно, что, за исключением коэффициента 0,66195, полученного методом Данкерлея, период колебаний все больше приближается к точному значению (0,63662).

Отклонения первых четырех чисел от последнего, выраженные в процентах, равны

—0,071%; —0,069%; —0,017%; +3,978%.

Эти данные показывают, что, беря вторую аппроксимацию по методу Рэлея — Ритца, мы получаем значение периода, чрезвычайно близкое к точному его значению; поэтому потребность в следующем приближении часто отпадает. Эти соображения применимы и в тех случаях, когда точное решение задачи невозможно или чрезвычайно сложно, и приходится пользоваться приближенными методами.

Метод Данкерлея дает наиболее грубый результат, но его преимущества заключаются в том, что он наиболее прост и дает завышенное значение периода, то есть может служить ориентировочным ограничением приближенного значения периода сверху.

§ 10. ДИНАМИЧЕСКИЙ ВИБРОГАСИТЕЛЬ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ

Часто вынужденные колебания системы, вызываемые действием возмущающей силы, являются крайне нежелательными, а иногда вообще недопустимыми, особенно, если собственная частота системы совпадает с частотой возмущающей силы (случай резонанса). Если при этом не представляется возможным устранить эту силу или, в крайнем случае, изменить в системе массу или упругую постоянную, выводя тем самым систему из условий резонанса, является весьма целесообраз-
§ 10] ДИНАМИЧЕСКИЙ ВИБРОГАСИТЕЛЬ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ

267

ным применение динамического виброгасителя *). В общем случае динамический гаситель колебаний выполняет свою работу не только за счет надлежащей настройки, но и за счет более или менее значительного поглощения энергии (демпфирования колебаний).

Рассмотрим действие виброгасителя в случае, когда механическая система может быть представлена в виде основной массы M, установленной на пружине C1 и находящейся под действием возмущающей силы Q = Zf sin (со/-f-6). Виброгаситель состоит из вспомогательной массы т, прикрепленной на пружине C2 к основной массе (рис. 111). Найдем уравнения вынужденных колебаний этой двухстепенной системы. Такая задача нами уже решалась в примере 2 § 7 гл. IV. Здесь более подробно проанализируем получаемые при этом результаты. Если принять за обобщенные координаты вертикальные перемещения X1 и х2, отсчитываемые вниз от положения равновесия центров тяжести обеих масс, получим

Mx1 = — C1X1-I- С2(Х2— X1)+Я Sin (со/+ 6), тх2 = — C2 (х2 — X1),

откуда по формулам (4.67) найдем

* H (с2 — та2)

Х1 =------Айв») sin (со/+ 6),

. He (4Л25>

где

Д (со2) = (C1 + C2 — Mco2) (с2 — тсо2) — с2. (4.126)

Из (4.125) видно, что если

(с2 — тсо2) = 0, (4.127)

то основная масса будет находиться в покое, т. е. колебания в ней будут погашены. Так как собственная частота присоединенного виброгасителя

“0= (4-128)

*) В специальной литературе его часто называют также анти* вибратором или поглотителем колебаний.
2о8

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. IV

то, подставив ее в выражение (4.127), получим

1-4-=0. (4.129)

®0

Эта формула позволяет более четко сформулировать условие подбора параметров виброгасителя: для погашения колебаний основной массы необходимо, чтобы его собственная частота со0 была равна частоте возмущающей силы CD. В этом случае уравнения движения (4.125) примут вид

X* = 0, х*2 — sin (at-f- 6 — л). (4.130)

Следовательно, в установившемся режиме колебаний виброгасителя сила упругости пружины с2 изменяется по закону
Предыдущая << 1 .. 62 63 64 65 66 67 < 68 > 69 70 71 .. 72 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed