Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Так как на концах балки (т. е. при х = 0 и X = Z) прогиб и изгибающий момент равны нулю, то в этих точках
Отсюда имеем четыре уравнения для определения четырех постоянных:
C~f? = 0, С — E = O,
С ch kl +- D sh kl +- E cos kl-\- F sin kl = 0,
C ch kl -j- D sh kl — E cos kl — F sin kl = 0.
Из первых двух уравнений вытекает, что C = E= 0, а тогда последние два будут совместны лишь в том случае, если
sh kl sin kl = 0.
Ho sh kl обращается в нуль только при kl = 0 (не считая мнимых корней), что же касается sin kl, то он обращается
в нуль не только при kl = 0, но и при kl = я, 2л, In,
т. е. вообще при
где Z=I1 2, 3, ... Тогда D = 0, а величину F мы можем присоединить к постоянным А и В. Общее решение уравнения (4.117) можно записать теперь в виде
где kt определяется из (4.122), a pt найдем, если в выражение (4.121) подставить значение k (4.122) и а (4.118), в итоге будем иметь
Формула (4.123) дает значения циклических частот последовательных типов колебаний. Нас интересует в данной задаче только основное колебание, т. е. колебание, имеющее место при I= В таком случае
(4.122)
І = OO
у = 2 (Al cos PiijT &i sin ptt) sin ktx
(4.123)
266
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
а период т будет равен
T = 0,63662 |/~(4.124)
В заключение сравним результаты, полученные различными методами (4.95), (4.103),(4.105), (4.113) и (4.124). Выпишем коэффициенты, стоящие при корнях выражений периода (4.95), (4.103), (4.105), (4.113) и (4.124):
0,63617; 0,63618; 0,63651; 0,66195; 0,63662.
Из числовых коэффициентов видно, что, за исключением коэффициента 0,66195, полученного методом Данкерлея, период колебаний все больше приближается к точному значению (0,63662).
Отклонения первых четырех чисел от последнего, выраженные в процентах, равны
—0,071%; —0,069%; —0,017%; +3,978%.
Эти данные показывают, что, беря вторую аппроксимацию по методу Рэлея — Ритца, мы получаем значение периода, чрезвычайно близкое к точному его значению; поэтому потребность в следующем приближении часто отпадает. Эти соображения применимы и в тех случаях, когда точное решение задачи невозможно или чрезвычайно сложно, и приходится пользоваться приближенными методами.
Метод Данкерлея дает наиболее грубый результат, но его преимущества заключаются в том, что он наиболее прост и дает завышенное значение периода, то есть может служить ориентировочным ограничением приближенного значения периода сверху.
§ 10. ДИНАМИЧЕСКИЙ ВИБРОГАСИТЕЛЬ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ
Часто вынужденные колебания системы, вызываемые действием возмущающей силы, являются крайне нежелательными, а иногда вообще недопустимыми, особенно, если собственная частота системы совпадает с частотой возмущающей силы (случай резонанса). Если при этом не представляется возможным устранить эту силу или, в крайнем случае, изменить в системе массу или упругую постоянную, выводя тем самым систему из условий резонанса, является весьма целесообраз-
§ 10] ДИНАМИЧЕСКИЙ ВИБРОГАСИТЕЛЬ БЕЗ ЗАТУХАНИЯ
267
ным применение динамического виброгасителя *). В общем случае динамический гаситель колебаний выполняет свою работу не только за счет надлежащей настройки, но и за счет более или менее значительного поглощения энергии (демпфирования колебаний).
Рассмотрим действие виброгасителя в случае, когда механическая система может быть представлена в виде основной массы M, установленной на пружине C1 и находящейся под действием возмущающей силы Q = Zf sin (со/-f-6). Виброгаситель состоит из вспомогательной массы т, прикрепленной на пружине C2 к основной массе (рис. 111). Найдем уравнения вынужденных колебаний этой двухстепенной системы. Такая задача нами уже решалась в примере 2 § 7 гл. IV. Здесь более подробно проанализируем получаемые при этом результаты. Если принять за обобщенные координаты вертикальные перемещения X1 и х2, отсчитываемые вниз от положения равновесия центров тяжести обеих масс, получим
Mx1 = — C1X1-I- С2(Х2— X1)+Я Sin (со/+ 6), тх2 = — C2 (х2 — X1),
откуда по формулам (4.67) найдем
* H (с2 — та2)
Х1 =------Айв») sin (со/+ 6),
. He (4Л25>
где
Д (со2) = (C1 + C2 — Mco2) (с2 — тсо2) — с2. (4.126)
Из (4.125) видно, что если
(с2 — тсо2) = 0, (4.127)
то основная масса будет находиться в покое, т. е. колебания в ней будут погашены. Так как собственная частота присоединенного виброгасителя
“0= (4-128)
*) В специальной литературе его часто называют также анти* вибратором или поглотителем колебаний.
2о8
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
то, подставив ее в выражение (4.127), получим
1-4-=0. (4.129)
®0
Эта формула позволяет более четко сформулировать условие подбора параметров виброгасителя: для погашения колебаний основной массы необходимо, чтобы его собственная частота со0 была равна частоте возмущающей силы CD. В этом случае уравнения движения (4.125) примут вид
X* = 0, х*2 — sin (at-f- 6 — л). (4.130)
Следовательно, в установившемся режиме колебаний виброгасителя сила упругости пружины с2 изменяется по закону