Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ма = 2
t =S 1
а поэтому частота системы ра на основании вышесказанного определится по формуле
2 MfPaa'
Pa
ИЛИ
= Ьаа 2 = ЬцЩ. (4.110)
Pa ‘=1 * = > Ьаа і=I
В конечном итоге, на основании (4.108), мы получаем формулу Данкерлея
P2 Pi Р\ P2n
Для распределенной массы интенсивности (i(x) будем иметь t
¦у = I H (JC) ьхх dx, (4.111)
о
где Ьхх можно определить с помощью интеграла Мора *)
і
bxx = f Ml (и) *L. (4.112)
о
Таким образом, Xjp1 можно рассматривать как результат загружения массой ц(х) «линии влияния частоты» Ьхх.
В заключение необходимо отметить, что в силу указанных допущений собственная частота, рассчитанная по Дан-керлею, всегда меньше истинной.
Вернемся к нашей задаче определения собственной частоты однопролетной балки длиной I, загруженной равномерно распределенной нагрузкой q.
Для определения коэффициента влияния Ьхх «заморозим» временно координату х — расстояние точки, загруженной единичной силой до левого конца балкц, и найдем с помощью
*) Cm,, например, книгу [29],
З А. Н. Овморщев
262
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
(4.112) выражение для 6ХХ в общем виде. Эпюра изгибающих моментов от единичной силы представлена на рис. 113. Уравнение изгибающего момента в интервале 0—/:
Г. Определение частоты основного типа колебаний однопролетной балки с помощью интегрирования дифференциального уравнения ее движения
He останавливаясь на получении уравнения движения в общем виде, решим задачу определения частоты колебаний с распределенной нагрузкой. Так как метод прямого инте-ірирования, в котором ограничения и допущения в задаче сводятся к минимуму, является наиболее точным, то полученный ниже результат возьмем в качестве критерия точности ко всем остальным значениям частоты, определенным Приближенными методами.
/ і__jc
Mx =—-j—и при 0 < и < х,
в интервале 1 — о'
Пользуясь интегралом Мора (4.112), найдем
о о
о
Теперь, зная, что ц(х) = согласно (4.111), будем иметь
/
о
или р = 9,4863j/ . Зная, что х = ^~, получим
, получим
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ
263
Здесь ограничения сводятся лишь к тому, что балка считается достаточно тонкой, чтобы не вводить в рассмотрение эффекта вращательного движения отдельных ее элементов и, кроме того, не будем принимать во внимание действие перерезывающих сил. Однако и эти факторы могут быть учтены [23]. Указанные ограничения имели место и в приближенных методах, но, если так можно выразиться, их «удельный вес» в сравнении с остальными ограничениями был весьма незначительным. Далее, мы предполагаем также, что материал балки однородный, изотропный и подчиняется закону Гука.
Считая длину балки равной I и беря начало координат в левом конце, направим ось х-в вправо, а ось у-в — вниз. Дифференциальное уравнение упругой линии
EI^r=-M (4.114)
продифференцируем дважды по х\ тогда справа получим интенсивность нагрузки q, т. е.
с/ d^y e1IHF = *'
Это все относится к покоящейся балке. Предположим теперь, что балка совершает колебания. Применяя принцип Да-ламбера, учтем инерционные силы, в результате чего получим
Р,&У__п Ч д2У
дх* ~ 4 g dt2 '
где уже взяты частные производные. Это и есть дифференциальное уравнение свободных поперечных колебаний балки,
Легко видеть, что решение написанного уравнения можно
искать в виде суммы функций y(t, х)~\~ у0(х), первая из которых удовлетворяет уравнению:
ЕгЛ!у_ — __±Ё1. га и
дх* ~ g dt2 ' (4.11э)
а вторая — уравнению
Ho последнее уравнение определяет кривую изгиба балки под действием статической нагрузки; на ординаты этой кривой накладываются ординаты, даваемые первым членом решения, который, собственно говоря, и определяет колебания. Так как
18*
264
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IV
нас интересуют только колебания, то мы отбросим вопрос отыскания второй функции и будем заниматься нахождением функции y(t, х) из уравнения (4.115). Перепишем его в несколько ином виде, а именно:
#.+ •>?¦ = 0. (4.117)
где принято
EIg (4.118)
Ч
Решение уравнения (4.117) будем искать в следующей форме:
у = RX,
где R — функция только времени t, а X — только координаты х. Подставляя это решение в (4.117), получим
„ d2R . d*X „ I d2R а2 d'X
x-3F+aR4#=* или -:R-dF
Слева стоит функция времени t, а справа — координаты х\ равенство возможно только тогда, когда каждая часть рассматриваемого уравнения равна постоянной величине. Положим эту постоянную равной некоторому числу р1. Тогда получим следующие два уравнения:
^ + P2R = 0, (4.119)
diX D2
<4Л2°)
Решение уравнения (4.119) имеет вид
R = A cos pt~\- В sin pt,
где А и В — постоянные интеграции, определяемые из начальных условий. Решение уравнения (4.120) запишется в таком виде
X = С ch kx -f- D sh kx -f- E cos kx-\- Fsin kx,
где С, D, E, F — постоянные интеграции, определяемые из граничных условий, k — величина, введенная для удобства и связанная с р и а формулой
«.¦>_/> /-I mu
§ 9) ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТЫ 265
