Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
T1 = -^fl+і а2). (3-64)
Таким же образом можно исследовать движение и в последующие интервалы. С помощью формул (3.57) и (3.60) легко перейти к координате q.
134
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
В. Метод Льенара
Многочисленные диссипативные, а также автоколебательные системы описываются уравнением вида
?+ф(?) + ? = О- (3-65)
Полагая здесь
x = q. y = q.
нетрудно найти дифференциальное уравнение фазовых траекторий
dy _ — ф (У) — х dx у
(3.66)
Метод Льенара, являющийся разновидностью метода изоклин, излагаемого в теории дифференциальных уравнений,
дает возможность по кри-
вой
построить поле направлений для данного дифференциального уравнения.
Допустим, что имеем точку М(х, у) с абсциссой X = OR и ординатой у = = MR, принадлежащую фазовой траектории (рис. 63). При этом считаем, что кривая (3.67) уже построена. Проводя прямую ML параллельно оси х, находим точку ее пересечения N с кривой
(3.67), из которой опускаем перпендикуляр NS на ось х.
Соединяя точку 5 с M и проводя в M отрезок, перпендикулярный к MS, находим направление касательной к фазовой траектории в точке M В самом деле, из рисунка видно, что
MR у
tgCC:
OR-OS лг + фОО
Перпендикулярный к MS отрезок имеет угловой коэффициент — ctg а, т. е.
— ф (у) — лг
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
135
а это и есть правая часть уравнения (3.66), иначе говоря, угловой коэффициент касательной к фазовой траектории. Переходя от точки к точке, можно приближенно построить фазовую траекторию, а задаваясь различными точками M — семейство таких траекторий. На рис. 64 построено несколько
Рис. 64.
звеньев ломаной MM1M2M3, являющейся аппроксимацией фазовой траектории при заданной кривой С, соответствующей уравнению (3.67).
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Свободные колебания q -j- k2q = 0.
Преобразованием времени
d = kt
приводим уравнение к виду
q" + q = 0,
где вторая производная берется уже по Ф. Уравнение (3.66) принимает вид
dy______х_
dx у '
Так как <p(y) = 0, то кривая х — — <р(у) совпадает с осью у и точка S на рис. 64 будет совпадать с началом координат для всех положений точки М. Следовательно, интегральные кривые должны быть концентрическими окружностями с центром в начале координат.
136
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
<Р (?') = j
Пример 2. Система с кулоновым трением. Вводя безразмерное время Ф = kt, имеем согласно (3.39)
q* + q=±r.
Здесь
-f-г при q' < О, при q’ > 0.
Кривая (3.67) распадается на две прямые: х = + г при у < 0,
X = — г при у > 0.
Каждая интегральная кривая состоит из дуг окружностей с центрами в точках Si и S2 (рис. 65), причем эти полуокружности
переходят друг в друга при пересечении с осью х. Отрезок S1S2 есть упоминавшийся выше отрезок покоя.
Фазовую диаграмму можно получить таким способом: строим семейство окружностей с центром в О; далее, разрезаем рисунок по оси х и сдвигаем верхнюю часть влево на г, а нижнюю — вправо на г. После этого надо фазовые траектории «сшить»: именно, подобрать полуокружности так, чтобы левый конец каждой нижней полуокружности сделался началом верхней (кроме точек, попавших на отрезок покоя S1S2). Такое построение мы выполним в следующем примере.
Пример 3. Система с линейным и кулоновым трением. Так как здесь преобразование времени не имеет смысла, то согласно
уравнениям (2.39) и (3.39) имеем
q -f- 2nq k2q = ± k"r.
Кривая (3.67) здесь распадается подобно предыдущему на две прямые, и мы имеем
( k2r — cIny при у < 0,
^ ^ ( — кгг — Iny при у > 0.
Конечно, можно использовать общее решение н получить семейство фазовых траекторий. Ho мы пойдем путем, намеченным в конце предыдущего примера. Вводя линейное преобразование
х — г ± г,
Рис. 65.
мы можем уравнение движения привести к виду г + Inz + k2z = 0.
АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
137
Если п < k, то это есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний, для которого фазовая диаграмма известна. Именно, мы имеем в качестве особой точки устойчивый фокус, к которому асимптотически приближаются закругляющиеся спирали (рис. 66, я).
У
Рис. 66,
Располагая семейством таких спиралей, разрежем рисунок по оси х, и сдвинем верхнюю половину влево иа г, а нижнюю вправо на г и «сошьем» подходящие фазовые траектории. Таким образом, получим на фазовой плоскости точный «портрет» движения системы с отрезком покоя SiS2, характеризующим зону застоя системы (рис. 66, б).
§ 3. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
А. Основные понятия
Нарушение консервативности системы возможно не только за счет рассеяния энергии, но и за счет ее поступления. Примером такой системы с притоком энергии может служить колебательная система, совершающая вынужденные колебания, обусловленные некоторым внешним фактором, именно, возмущающей силой, явно зависящей от времени. Нами было рассмотрено действие силы, являющейся периодической функцией времени, а также действие произвольно изменяющейся силы. Заметим, что силу, действующую по произвольному закону, можно рассматривать как наложение сил с непрерывным распределением частот, т. е. об падающую, как говорят, непрерывным спектром частот. Таким образом, в
