Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Обморшев А.Н. -> "Введение в теорию колебаний " -> 32

Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.

Обморшев А.Н. Введение в теорию колебаний — Москва, 2000. — 278 c.
Скачать (прямая ссылка): vvedenievteoriukolebaniy2000.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 72 >> Следующая


или

а-ЯЛ- Cq = ± b**q2 aq-\-cq = — b**q2 sgn q.

(3.48)

Разделим обе части этого уравнения на а и введем обозначения:

SI

а

— — k2 а ’

= р.

(3.49)
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

129

Тогда имеем:

q-\- k2q-\-$q2 Sgnq = O. (3.50)

Допустим, что движение начинается в момент ^=O при

Я — %~> 0. <7о=0- Тогда до первой остановки (q=0) дви-

жение происходит при q < 0, поэтому на основании (3.50) имеем:

q -f- k2q — Pg2 = 0.

Введем новую переменную Z по формуле

z = q2. (3.51)

Тогда

0........ I dz

Z = 2qq, q=2-df’

и уравнение движения принимает вид:

~-^z = -2k2q. (а)

Решение этого уравнения состоит из двух частей:

Z = z +Z*,

где

z = Ce™

есть решение однородного уравнения, а

= Aq-IrB

есть частное решение данного уравнения. Здесь С есть произвольная постоянная; А и В — постоянные, находимые путем подстановки частного решения в уравнение (а):

а _

P ’ 2р2 ’

Итак:

Z = CeW 4.^(1 +2(59).

При { = 0, Z==O1 а поэтому

Jl

2р:

Тогда

z = [(2рq+ I) - (2р9о+ 1) ,*<«-*>]. (3.52)

9 А. Н. Обморшев
130

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. III

Вспоминая значение г, имеем:

f = Г = . =Jq. ¦ (3.53)

k І V (2р<7 + 1) — (2р^0 + 1)

Обращение этого интеграла могло бы дать закон движения. Однако указанный интеграл от трансцендентной функции не может быть выражен с помощью конечного числа элементарных функций, поэтому ограничимся лишь нахождением закона изменения амплитуд. Учитывая, что в момент первой остановки Z = 0, из уравнения (3.52) находим:

(1 + 2p?j) е-^1 = (1 + 2р<70) е-2Рг».

Для исследования движения от первой остановки до второй достаточно изменить знак у Р; получим

(1 — 2р<72) е2^ = (I — 2(J„7l) е2Рг, и так далее. Полагая

2$qj = Xj, (3.54)

имеем:

(I + AT1) е~* = (I + X0) е-*о,

(I — JC2) е*г = (I --Ar1) ех'.

Логарифмируя эти уравнения и вводя обозначения у = / (х) = In (1 + х) — х, получаем искомый закон:

f (Xi) = f (.X0), f(—X2) = /(-X1), f (Xz) = f (X2),

/(— AT4) =/(— Jf8),

На рис. 61 пострэена кривая у = /(л:), с помощью которой при любом значении X0 легко получить последующие амплитуды. На рис. 62 показана фазовая диаграмма, где x — q, у — q =V~z. Эта диаграмма строится на основании уравнения (3.52) следующим образом. При движении от

(3.55)

(3.56)
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

131

q = q0 до момента первой остановки уравнение (3.52) берется в том виде, как оно написано, от момента первой остановки до второй перед р надо изменить знак; после второй остановки знак опять меняется на обратный и так далее. Здесь никакого отрезка покоя нет, и начало О является асимптотической точкой; иначе говоря, особая точка есть устойчивый фокус.

Обратимся теперь к приближенному исследованию закона движения. Положим, что

а =

(3.57)

Рис. 61.

— величина малая; то есть это такой малый параметр, который характеризует отклонение системы от линейной. Далее,

Рис. 62.

введем в уравнение (3.50) «безразмерное» время •& по формуле

О •>/¦< . - (3i58)

где постоянная ц разлагается по степеням а: И = C^1 + Gt2H2 4-а3ц3+ ...

(3.59)

Обозначая штрихом производные по •&, из уравнения (3.50) имеем:

/2

«" + (і Н-ц)? ± Ptf7 =°*

9*
132

нелинейные системы

[ГЛ. III

Положим, далее,

q = q0z. (3.60)

Тогда

г"+(I +и) z ± Cizfl-O. (3.61)

Представляя решение в виде ряда, расположенного по сте-

пеням а:

2 = ZoCfr)+ c^1 (ft)+ Gi2Z2 (ft) + ... (3.62)

имеем начальные условия:

$ = 0; Z0= I; Z1 = Z2= ... =0;

Z0 = Z1 = Z2= ... =0.

Подставляя решение (3.62) в уравнение (3.61), а также учитывая значение и- по формуле (3.59), находим:

Zg + ОZj +- Gl2Zg + Cl3Zg + . . .

... + (1 +-ащ + aV2 + Ci2Ii3+-. . .)(z0+-az1+-a2z2+. ..)—

— a(z' — az'+-a2z' + ...)2 = 0.

Собирая здесь члены с одинаковыми степенями а и приравнивая их совокупности нулю, приходим к системе уравнений:

zO ~Ь Z0~ 0’

Z1 + Z1 = 2'2— [I1Z0,

Z2 +- Z2 = 2ZqZ1 M^q

Учитывая начальные условия, из первого уравнения находим:

Z0 = cos ft.

Подстановка во второе уравнение после преобразования дает Z1 +- Z1 = Y — у cos 2ft — H1 cos ft.

Чтобы не было секулярных членов, должно быть

Ji1 = O.
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ

133

Тогда, принимая во внимание начальные условия, имеем

12 л і 1 „„

Z1 = Y — g- cos d + у cos 2d.

Из третьего уравнения после упрощений находим: z2 — — -g- + (-д* — М2) cos & + -g-cos 2d — cos 3d.

Здесь

_ I H2- 3--

вследствие чего

2 61 „ 2 о»

Z2= — cos d — у cos 2d -(- cos 3d.

Ограничиваясь малыми второго порядка малости, находим решение в следующем виде:

ITa2) + !1 ~Ta +T^a2) cos^ +

-)- a — ~ a2j cos 2d —a2 cos 3d. (3.63)

Конец первого интервала имеет место при d = tt. В этот момент

2 =T *<!> = — I +1 a — -^cc2сс3.

Продолжительность первого полупериода найдем из уравнения (3.58), подставив значение d = n:

<•=т ут+ї » т (1 + і «')'‘~ T (1 + і “’) •

Если сделать подобный расчет для второго интервала, когда Z изменяется от z(1) до z(2), то оказывается, что с принятой степенью точности вторая половина периода равна первой, а тогда полный первый период равен:
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 72 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed