Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
или
а-ЯЛ- Cq = ± b**q2 aq-\-cq = — b**q2 sgn q.
(3.48)
Разделим обе части этого уравнения на а и введем обозначения:
SI
а
— — k2 а ’
= р.
(3.49)
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
129
Тогда имеем:
q-\- k2q-\-$q2 Sgnq = O. (3.50)
Допустим, что движение начинается в момент ^=O при
Я — %~> 0. <7о=0- Тогда до первой остановки (q=0) дви-
жение происходит при q < 0, поэтому на основании (3.50) имеем:
q -f- k2q — Pg2 = 0.
Введем новую переменную Z по формуле
z = q2. (3.51)
Тогда
0........ I dz
Z = 2qq, q=2-df’
и уравнение движения принимает вид:
~-^z = -2k2q. (а)
Решение этого уравнения состоит из двух частей:
Z = z +Z*,
где
z = Ce™
есть решение однородного уравнения, а
= Aq-IrB
есть частное решение данного уравнения. Здесь С есть произвольная постоянная; А и В — постоянные, находимые путем подстановки частного решения в уравнение (а):
а _
P ’ 2р2 ’
Итак:
Z = CeW 4.^(1 +2(59).
При { = 0, Z==O1 а поэтому
Jl
2р:
Тогда
z = [(2рq+ I) - (2р9о+ 1) ,*<«-*>]. (3.52)
9 А. Н. Обморшев
130
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Вспоминая значение г, имеем:
f = Г = . =Jq. ¦ (3.53)
k І V (2р<7 + 1) — (2р^0 + 1)
Обращение этого интеграла могло бы дать закон движения. Однако указанный интеграл от трансцендентной функции не может быть выражен с помощью конечного числа элементарных функций, поэтому ограничимся лишь нахождением закона изменения амплитуд. Учитывая, что в момент первой остановки Z = 0, из уравнения (3.52) находим:
(1 + 2p?j) е-^1 = (1 + 2р<70) е-2Рг».
Для исследования движения от первой остановки до второй достаточно изменить знак у Р; получим
(1 — 2р<72) е2^ = (I — 2(J„7l) е2Рг, и так далее. Полагая
2$qj = Xj, (3.54)
имеем:
(I + AT1) е~* = (I + X0) е-*о,
(I — JC2) е*г = (I --Ar1) ех'.
Логарифмируя эти уравнения и вводя обозначения у = / (х) = In (1 + х) — х, получаем искомый закон:
f (Xi) = f (.X0), f(—X2) = /(-X1), f (Xz) = f (X2),
/(— AT4) =/(— Jf8),
На рис. 61 пострэена кривая у = /(л:), с помощью которой при любом значении X0 легко получить последующие амплитуды. На рис. 62 показана фазовая диаграмма, где x — q, у — q =V~z. Эта диаграмма строится на основании уравнения (3.52) следующим образом. При движении от
(3.55)
(3.56)
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
131
q = q0 до момента первой остановки уравнение (3.52) берется в том виде, как оно написано, от момента первой остановки до второй перед р надо изменить знак; после второй остановки знак опять меняется на обратный и так далее. Здесь никакого отрезка покоя нет, и начало О является асимптотической точкой; иначе говоря, особая точка есть устойчивый фокус.
Обратимся теперь к приближенному исследованию закона движения. Положим, что
а =
(3.57)
Рис. 61.
— величина малая; то есть это такой малый параметр, который характеризует отклонение системы от линейной. Далее,
Рис. 62.
введем в уравнение (3.50) «безразмерное» время •& по формуле
О •>/¦< . - (3i58)
где постоянная ц разлагается по степеням а: И = C^1 + Gt2H2 4-а3ц3+ ...
(3.59)
Обозначая штрихом производные по •&, из уравнения (3.50) имеем:
/2
«" + (і Н-ц)? ± Ptf7 =°*
9*
132
нелинейные системы
[ГЛ. III
Положим, далее,
q = q0z. (3.60)
Тогда
г"+(I +и) z ± Cizfl-O. (3.61)
Представляя решение в виде ряда, расположенного по сте-
пеням а:
2 = ZoCfr)+ c^1 (ft)+ Gi2Z2 (ft) + ... (3.62)
имеем начальные условия:
$ = 0; Z0= I; Z1 = Z2= ... =0;
Z0 = Z1 = Z2= ... =0.
Подставляя решение (3.62) в уравнение (3.61), а также учитывая значение и- по формуле (3.59), находим:
Zg + ОZj +- Gl2Zg + Cl3Zg + . . .
... + (1 +-ащ + aV2 + Ci2Ii3+-. . .)(z0+-az1+-a2z2+. ..)—
— a(z' — az'+-a2z' + ...)2 = 0.
Собирая здесь члены с одинаковыми степенями а и приравнивая их совокупности нулю, приходим к системе уравнений:
zO ~Ь Z0~ 0’
Z1 + Z1 = 2'2— [I1Z0,
Z2 +- Z2 = 2ZqZ1 M^q
Учитывая начальные условия, из первого уравнения находим:
Z0 = cos ft.
Подстановка во второе уравнение после преобразования дает Z1 +- Z1 = Y — у cos 2ft — H1 cos ft.
Чтобы не было секулярных членов, должно быть
Ji1 = O.
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
133
Тогда, принимая во внимание начальные условия, имеем
12 л і 1 „„
Z1 = Y — g- cos d + у cos 2d.
Из третьего уравнения после упрощений находим: z2 — — -g- + (-д* — М2) cos & + -g-cos 2d — cos 3d.
Здесь
_ I H2- 3--
вследствие чего
2 61 „ 2 о»
Z2= — cos d — у cos 2d -(- cos 3d.
Ограничиваясь малыми второго порядка малости, находим решение в следующем виде:
ITa2) + !1 ~Ta +T^a2) cos^ +
-)- a — ~ a2j cos 2d —a2 cos 3d. (3.63)
Конец первого интервала имеет место при d = tt. В этот момент
2 =T *<!> = — I +1 a — -^cc2сс3.
Продолжительность первого полупериода найдем из уравнения (3.58), подставив значение d = n:
<•=т ут+ї » т (1 + і «')'‘~ T (1 + і “’) •
Если сделать подобный расчет для второго интервала, когда Z изменяется от z(1) до z(2), то оказывается, что с принятой степенью точности вторая половина периода равна первой, а тогда полный первый период равен: