Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
sin-y = ft, sin -тр = AsiniJ),
120
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
где г|) — новая переменная. Тогда
cos — = ]/1 — A2 sin2 -ф, dcp = —^21г cos ^ — Лі|і,
2 у TY у і _ gin2 ^ т.
и формула для периода после сокращений принимает вид
т = 4/ ТК{к)'
где К (к) есть так называемый полный эллиптический интеграл первого рода в форме Лежандра с модулем k:
К (k)= j Yi _ к2 Si
sin2 i|j
о
Этот интеграл легко может быть вычислен путем разложения функции в биноминальный ряд и почленного интегрирования. Итак, имеем:
(I — k2 sin2l|))~1/2 = I -f- — k2 Sin2 "ф —|— Sin4 "Ф -j- . . .
Если обозначить
я
2
I2fl = J sin2« я|) dxp,
о
интегрированием по частям находим:
я
? 2 I2n = — [sin2"'1 г|) COs^J02 -{- (2п — I) J sin2/!_2^cos2 фйОД
о
ИЛИ
^2л ~ I) I2п-2~\~ (2я 1) ^2я>
откуда получаем рекуррентную формулу Тогда
j ____ 2 п — Ir
‘In 2я 2л —2’
, ________ я т ________________1 я г _____________________ 1 • 3 я
/о--------"7Г • 2---- О о > 4----- '
1O 2’ 2 2 2’ 4 2-4 2 ’
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
121
и, следовательно:
/т = у[і + (у)2?2+(й-)2?4+ ...]. (3.34)
что для маятника дает:
т = 2я/Jr[l + (j)'sitff + (^-)2sln*-f + ...]. (3.35)
При очень малом угле а, пренебрегая всеми степенями синуса, получаем приближение, известное из элементарной теории:
т = 2я т/~ —.
V g
Если же положить sin -?г ~-Tf и удержать первые два
члена, получим достаточное приближение, найденное ранее по методу Линдстедта
,=.2,/1(1+?-
§ 2. ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
Диссипативные системы характеризуются рассеянием энергии за счет сопротивлений, что при отсутствии поступления энергии извне обусловливает затухание колебательного процесса. Мы рассмотрим здесь две наиболее существенные нелинейные задачи: свободные колебания системы с сухим, или кулоновым трением и свободные колебания с квадратичным сопротивлением. В обоих случаях ограничимся линейной восстанавливающей силой. В заключение рассмотрим графический метод, предложенный французским инженером Льенаром и одинаково эффективный в применении к диссипативным системам и к системам автоколебательным, которым посвящен следующий параграф.
А. Колебания системы с сухим трением
Рассмотрим движение прикрепленного к пружине груза массой т, находящегося на шероховатой горизонтальной плоскости (рис. 55). При движении груза будет возникать сила трепня, которую в первом приближении можно считать
122
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
независящей от скорости. Пусть / есть коэффициент трения при движении, /0 — коэффициент трения при покое, причем /о >/.
Составим дифференциальное уравнение движения груза, выбирая за начало координат положение 0 груза при ненапряженной пружине. Тогда
^маладаАл-
т тх = — сх ± fmg,
О где с — коэффициент жесткости
Рис. 55. пружины. Знак перед членом fmg,
выражающим силу трения, выбирается в зависимости от направления движения. Двойственность знака обусловливает нелинейность уравнения.
Для удобства записи уравнения движения введем так называемую функцию Кронекера sgn (signum — знак):
( -f-І, если х > О, sgn х — { •
( —1, » х < 0.
Учитывая то обстоятельство, что сила трения направлена всегда противоположно скорости, можно написать:
тх -j-сх = — fmg sgn х.
Система с сухим трением есть принципиально нелинейная система. В самом деле, характеристика сухого трения имеет вид, представленный на рисунке 56, где линеаризация,
т. е. замена ступенчатой характеристики прямой, проходящей через начало координат, явилась бы слишком грубым приближением, могущим сильно исказить картину движения.
При рассмотрении влияния сухого трения на свободные колебания в ряде Рис. 56. случаев (например, в гироскопических
приборах) имеют дело не с силой трения, а с моментом трения; соответственно вместо перемещения х вводится угол поворота ф. Поэтому дальнейшие рассуждения будем вести для общего случая свободных колебаний при наличии трения, перейдя к обобщенной координате q и обобщенной силе трения.
%
frP X
ДИССИПАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
123
Итак, дифференциальное уравнение колебаний при наличии трения будет иметь вид:
где Ь* — абсолютная величина обобщенной силы трения при движении.
Разделим обе части уравнения (3.36) на а и введем обозначения:
есть отклонение системы от положения, равновесия под действием обобщенной силы, равной силе трения при движении. Введем также абсолютную величину обобщенной силы тре-
будет характеризовать так называемую область застоя, т. е. такую область изменения координаты q по каждую сторону от положения q — 0, в которой материальная система должна оставаться в покое, если она не имела до этого скорости.
Учитывая принятые обозначения, дифференциальное уравнение движения (3.36) может быть записано так:
Второй член справа представляет собой нелинейную кусочно-непрерывную функцию. Поэтому такое преобразование нужно выполнить отдельно для каждого интервала монотонного изменения координаты. В пределах каждого
aq-\-cq = — b* sgn q,
