Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Яі> Чі....Чп>
последние во время колебательного процесса то возрастают, то убывают. Это означает, что точки или тела, входящие в систему, совершают прямые и обратные движения.
Колебательное свойство какой-либо системы не следует смешивать со свойством периодичности. Под периодичностью подразумевается регулярная повторяемость явления, причем периодическое движение может быть как колебательным, так и прогрессивным. Например, движение маятника есть движение периодическое колебательное, а движение стрелки часов — движение периодическое прогрессивное. С другой стороны, не всякое колебание периодично. На рис. 1, а представлен график простейшего колебательного периодического движения, а на рис. 1,6 — график движения колебательного, но не периодического (нельзя указать период).
*) В теоретической механике механической системой принято называть совокупность конечного или бесконечного числа материальных точек, связанных между собой. Обобщенными же координатами называются такне независимые между собой величины, заданием которых вполне определяется положение всех точек системы. Число таких координат называют числом степеней свободы системы [*].
«21
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ
11
Выбор координат, определяющих состояние системы, вообще произволен и подчинен лишь практическим соображениям. Например, при рассмотрении колебаний автомобиля,
Рис. 1.
вагона и т. п. (рис. 2) можно взять в качестве обобщенных координат смещения Z1 и Z2 точек рессорного подвешивания, или, что удобнее, смещение центра тяжести Zc и угол поворота <р.
Обобщенными координатами могут быть не только механические величины, HO и другие величины, например, температура, сила тока и т. д.
В этой книге, наряду с механическими системами, мы будем рассматривать в качестве примеров также электрические системы.
§ 2. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ
Понятия устойчивости и неустойчивости, тесно связанные с учением о колебаниях, почти очевидны и известны еще из элементарной физики. В самом деле, легко дать оценку устойчивости шарика, находящегося на поверхности (рис. 3).
12
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
[ГЛ. I
Так, в случае а положение его устойчиво, в случае б—неустойчиво и, наконец, в случае в — находится в безразличном равновесии.
Устойчивость определяется либо как стремление системы возвратиться в исходное состояние после того, как она
из него была выведена, либо как свойство оставаться вблизи этого исходного состояния. В случае механических систем мы различаем устойчивость равновесия и устойчивость движения *). Вообще можно говорить об устойчивости какого-либо состояния любой физической системы, подразумевая под этим такое свойство системы, когда все величины, определяющие ее состояние, остаются вблизи тех значений, которые характеризуют некоторое, заранее выбранное номинальное состояние, называемое основным или невозмущенным. Хотя попытки дать определения устойчивости восходят еще к XVIII веку, исчерпывающая ясность была внесена лишь в 90-х годах прошлого века в классических работах А. М. Ляпунова, на которые мы и будем опираться в наших определениях [12].
Условимся для простоты отсчитывать обобщенные координаты системы от положения равновесия. Обозначая, как
*) Ниже подробно рассматриваются устойчивость равновесия и движения. Здесь же заметим, что необходимым и достаточным условием равновесия механической системы является равенство нулю всех обобщенных сил [|5]:
Условие равновесия не определяет еще устойчивость рассматриваемого состояния. Обобщенной силой Qi, соответствующей координате qi, называется такая величина, произведение которой на приращение 6<7,- равно работе всех сил, приложенных к системе, на перемещении системы, соответствующем этому приращению координаты qi. Число обобщенных сил равно числу обобщенных координат.
Рис. 3.
Q
Q
УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ
13
обычно, нулевыми индексами начальные значения координат, дадим такое определение устойчивости равновесия:
Равновесие системы называется устойчивым, если при наперед заданных достаточно малых положительных числах E1 и г2 можно указать такие малые положительные числа S1 (ех) и 62(е2), что при
|9?|<й1- |9?|<йа
во все последующее время будем иметь
Ы < єі ІЯ11 < є2-
где I= 1, 2, ..., п.
Устойчивость, определенную таким образом, называют обыкновенной устойчивостью. Если же с течением времени все <7г стремятся к нулю, то говорят, что система обладает асимптотической устойчивостью.
Таким образом, при обыкновенной устойчивости точки системы не выходят за назначенные заранее границы, а при асимптотической устойчивости стремятся к своим равновесным положениям.
Можно установить достаточный признак или критерий устойчивости для консервативных систем, который дается теоремой, доказанной в конце XVIII века Лагранжем для некоторых частных случаев и обобщенной в середине XIX века Дирихле на случай любых консервативных систем.
Теорема Лагранжа — Дирихле. Если в положении равновесия потенциальная энергия системы имеет минимум, то равновесие устойчиво.
