Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
, <Ш (q) п
подставим разложение потенциальной энергии (3.15), дополненное квадратичным членом
П (<7) = ус<72 +Сі<73-Ь с2д4-\- ... (3.24)
Вспоминая формулу (2.10)
U1 = -а
и вводя для сокращения записи обозначения
ЗС] 4C2 U Л~ 2) Cj
Vi = -/. Y2 = -^l............. Yy —--------г........... (3.25)
имеем
?-М2? + /(?) = 0. (3.26)
Здесь функция
/(<7) = (Yi<724~ ЪФ -Из<74+ •••) (3-27)
характеризует собой отклонение системы от линейной. Будем считать, что величины Yi, Y2- • • • достаточно малые, вследствие чего указанное отклонение также мало, особенно
') Cm., например, книгу [5].
116
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
при малых значениях координаты q. Тогда, очевидно, период колебаний также будет мало отличаться от соответствующего периода линейных колебаний, когда
/(9) = 0.
Допустим, что начальные условия имеют вид t = 0; q = qQ=:fi-, q = q0 = 0,
где р—малая величина, степени которой быстро убывают. Это и есть тог «малый параметр», по степеням которого производится разложение решения. Для дальнейшего удобно ввести «безразмерное время» Ф по формуле
1 + Ц.
где ц представляется в виде ряда
H = Pn1 -(- P2H2 H- P3H3 H- • • •
H2. • •
(3.28)
(3.29)
с неизвестными пока постоянными (X1,
Решение ищем в виде ряда
<7 W = P<7i (P) + Р2<72 W + Р3<7з (P) + • • • - (3-30)
где <7[ (#), q2(ft)< • • • — неизвестные функции. Если условиться точкой обозначать производную по времени t, а штрихом — по «безразмерному времени» д, то имеем
^ = A-УI-l-ngr', q = k2(\-\-\x)q".
Уравнение (3.26) принимает вид
(1 + и) q" + <7 + Yi?2 +Y2?3+ Y3?4 + ••• = °-
Подставляя сюда разложения (3.29) и (3.30) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получаем систему уравнений:
?" +<7i = 0.
?2 + ^2
?3 + ?3 = Mvj?! 2Yi?i?2 •
¦ !-I2^2 MiI ?з
Y1^.
¦ Y2??.
Ц,\ + ? 4 --------- ----- I13tIi
Yi Ч\-
-2W3-3Y2^2-Y3?!.
(3.31)
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
117
Очевидно, что эти уравнения можно интегрировать последовательно. Начальные условия для них имеют вид
^1(O)=I. %(0) = ?3(0)= ... =0,
(O) = O1 ?'(0) = ?'(0)= ... =о.
Тогда из первого уравнения имеем
<7j = cos д.
Подстановка во второе уравнение дает
<72 + <72 = cos d----~--------- cos 2її.
При интегрировании этого уравнения первый член правой части порождает в решении секулярный, или вековой член
у H1A sin Ф, неограниченно возрастающий, что, очевидно, находится в противоречии с условием устойчивости системы в положении равновесия, когда П(<7) имеет минимум. Чтобы устранить противоречие, мы должны положить (X1 = O. Тогда имеем
<72 = — Yi (3 — 2 cos Ф — cos 2#).
Переходя к третьему уравнению и выражая произведения и
степени синуса и косинуса через функции кратных аргумен-
тов, имеем
"і I i®2 ^ ^ а
<7з + <73=------з~ + (1? + в У? — J Y2/ cos д —
— j y'j cos 2& — Y2 H- у Y1) cos 3ft.
Для избежания резонанса следует положить
5 г, . 3 1^2 = — "6 YfH-ITY2
и тогда
Т + (ш^ — І Y2) cos^ H-^Y?cos 2ft-|-
+ (І Y2) cos 3ft
118
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IIl
и т. д. Таким образом, решение можно записать в виде тригонометрического ряда:
? = (—тY1P2--^P3H- ...) +
+ [р + JYiP2+ (-Щ Y?-і Y2) P3+ ...Jcosd +
Ч- (4 YiP2 + j YfP3-+- .. • j cos 2d +
+ [(І V?+ Y2) P3+ ...Jcos 3d+ ...
Период решения по d равен 2л, тогда как по t он равен:
2я 1
k ]Л+]1
(3.32)
или приближенно, если ограничиться членами до P2 включительно:
*=-х[‘ + т(!^-тъИ- <3-33>
Эта формула получается разложением, в биномиальный ряд дроби IIY1 + (X
(1+ц) ,2 = I-H-Ji+ ...
с удержанием первых двух членов разложения
Пример. Приближенное вычисление периода колебаний маятника. Разлагая синус в ряд, получаем
Пользуясь методом Линдстедта, имеем
k2 = -—, Vi = Va = O1 Y2 = --1., P = а. Тогда по формуле (3.32) находим
*-»У+(1 + тИ-
Эта формула дает достаточно точные результаты.
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
119
Г. Точная теория маятника
Круговой маятник (математический или физический), если пренебречь сопротивлением, можно рассматривать как консервативную систему и применить общие точные методы количественного исследования, приводящие к зависимости между перемещением и временем в виде (3.9) и к формуле периода (3.12). В дальнейшем ограничимся лишь отысканием периода. Маятник будем предполагать для простоты математическим; однако выводы останутся в силе и для маятника физического, в котором приведенная длина I соответствует длине математического маятника.
Приняв за обобщенную координату q угол отклонения маятника от вертикали ф (рис. 54), найдем
П (ф) — mgl (I — cos ф) -)- const, а --- тР,
F (Ф) = -§-П (Ф) =
2 S
= -J- (1 — COS ф) -j- const.
Далее, из уравнений (3.10) и (3.12), имея в виду, что F (ф) — А H- -j- cOs ф = -j- (cos ф — cos а),
получим
____ О
I [* dq>
2g J /cos ф — cos а ’
где а — амплитуда колебаний маятника. Выразим косинусы через синусы половинных углов по формулам
cosa=l — 2 sin2cos ф=1 — 2 sin2-у и, кроме того, положим
