Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
соответствуют точкам пересечения фазовой траектории с осью х. Пусть эти корни (предположим их простыми) будут q1 и q2. Каждой величине q1 или q2 соответствует мгновенная остановка системы. В то время как получение q из уравнения (3.9), т. е. нахождение закона движения, в общем случае представляет значительные трудности, нахождение периода колебаний несравненно проще. Предположив, что q1 < q2, получим период, если возьмем интеграл в уравнении (3.9) со знаком плюс в пределах от <7, до q2 и прибавим к нему интеграл со знаком минус в пределах от q2 до ^1. Очевидно, имеем
Практически часто бывает, что движение симметрично относительно начала. Полагая тогда в формуле (3.11) q2 = -\-qQ, Q1 = — qQ, приходим к наиболее употребительному выражению периода
является функцией периодической относительно q с некоторым периодом 2 Q, т. е.
(3.9)
Корни функции
F (q) = h—F (q)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
Если функция F (д), не имея вещественных корней.
F (?+ 2 Q) = F (q),
(3.13)
то имеем ротационное движение с периодом
112
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Рассмотрим определение периода по формуле (3.11) в том случае, когда разложение потенциальной энергии в ряд начинается с членов выше второго порядка малости:
П(<7) = с1(73H-C2Qi + C3?54- .... (3.15)
где
I Idi+2R) . . 0
0J- (IJh2)A daJ^ la' J
Так как в положении устойчивого равновесия потенциальная энергия имеет минимум, то разложение должно начинаться с четной степени q. Пусть это будет при J = 2s. Тогда приближенно можно положить
П = С2(5-1)^5- (3-16)
Выберем за начало отсчета времени тот момент, когда q = О, <7 = (70> 0. Тогда, согласно равенствам (3.5) и (3.10), имеем
Р(Ч)= 2С2^-1) (q20s — q2s).
Вследствие четности функции П(^) можно воспользоваться для периода упрощенной формулой (3.12), которая теперь принимает вид
_________ ?о
X = 4 ____-____ Г ____ dq - -
У 2с2 (s-і) J Vqls-42s '
Переходя к безразмерной переменной интегрирования
получаем
4
г \[—~— f dZ "• • (3-18)
<fo 2c2(s-l) о Vl
При S=I имеем элементарный случай линейной системы:
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
113
Полученная формула совпадет с уже известной, если положить 2C0 = C. При S = 2 получается эллиптический интеграл. В общем случае положим
Z2s = X.
Тогда
dz = -J- x2s 1 dx,
2s
0 r о
Входящий сюда интеграл есть так называемая бэта-функция Эйлера, общий вид которой
і
В{р. q) = B(q, р)= J xp_1 (I — xf-'dx. (3.19)
о
Бэта-функция выражается через гамма-функции Эйлера следующим образом:
"=W1 (3'20)
где
Г (р) — J" е~ххР~х dx. (3.21)
о
Отметим лишь некоторые свойства этих функций, известные из их теории, а именно:
Г(р+1) = рГ(ру, г (I) = I; Г (у) =/я.
Использовав эти соотношения, придадим формуле для периода (3.18) следующий вид:
qs0 1 V *2(s-u
где
l~V~r—7<s>* (3'22>
7 <s)=^гТХІТГ <3-23)
\ 2s 2 /
8 А. Н. Обморшев
114
НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. III
Укажем значения f (s) для некоторых s: s 1 2 3 4
/(«) 4,44 3,70 3,43 3,28
Располагая таблицами гамма-функций, по формулам (3.22) и (3.23) легко находим период для любого значения s.
Как уже указывалось, нахождение конечного уравнения, точно выражающего закон движения, весьма затруднительно
и в элементарных функциях обычно невыполнимо.
Пример. Горизонтальные колебания груза, связанного двумя проволоками (рис. 53). Пусть S — начальная растягивающая сила в про-? волоке, F— площадь ее поперечного сечения, E — модуль упругости, 21 — начальная длина. Тогда относительное удлинение проволоки при отклонений груза массы т от его среднего положения на величину х будет равно
Vl2jrX2 — I X2
I к 21г •
Усилие в проволоке определится как сумма
S + EF^-,
и полная горизонтальная восстанавливающая сила будет равна
\ ^ 212 } Yp _|_ *2 I 1 P
Соответствующая потенциальная энергия „ S21 EF
U~TX + 4/3 х '
Если предварительное натяжение S очень велико, то можно пренебречь вторым членом, и задача сводится к линейной. Наоборот, при очень малом S или его отсутствии по формулам (3.16) и (3.22) имеем
=Ш* (*о--Л
I f Aml3 _ 7,42 /~'wF
ль V sf\
КОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
115
В. Метод Линдстедта')
Как уже указывалось выше, точное решение задачи
о нелинейных колебаниях консервативной системы в элементарных функциях в общем виде невыполнимо, даже если ограничиться отысканием периода. Поэтому рассмотрим приближенное решение задачи с помощью так называемого метода малого параметра, применимого к системам, мало отличающихся от линейных.
Метод малого параметра возник в начале прошлого столетия в применении к задачам небесной механики. В настоящее время этот метод известен в различных вариантах, имеющих между собой то общее, что искомое решение представляется в виде ряда, расположенного по степеням малого параметра. В задачах о колебаниях нелинейных систем очень удобен вариант этого метода, называемого методом Линдстедта. Рассмотрим его подробнее.
В дифференциальное уравнение движения
