Введение в теорию колебаний - Обморшев А.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Первые серьезные для своего времени исследования колебаний восходят к XVII веку. Они были выполнены Г. Галилеем и затем X. Гюйгенсом и касались лишь маятника. В XVIII веке, с развитием математического анализа и теоретической механики, интерес к колебательным процессам уже подкрепляется основательной теоретической базой. Так, Л. Эйлер в России занимается изучением колебаний корабля в связи с вопросом о его устойчивости, а Ж. Даламбер во Франции работает над исследованием колебаний струны. В конце XVIII века Лагранж в своем замечательном труде «Аналитическая механика» создает мощный математический аппарат в виде хорошо известных теперь уравнений движения в обобщенных координатах. Рассмотрев с его помощью некоторые задачи теории колебаний, приводящиеся к интегрированию линейных дифференциальных уравнений, он тем самым заложил основы линейной теории колебаний.
8
ВВЕДЕНИЕ
В первой половине XIX века русский ученый М. В. Остроградский решает некоторые задачи о колебаниях, приводящие к нелинейным дифференциальным уравнениям. В середине XIX века К. Вейерштрасс дает точное решение задачи
о маятнике с помощью эллиптических функций. Таким образом, нелинейные задачи начали решать уже в прошлом столетии, однако общей нелинейной теории колебаний еще не было создано.
Внимание ученых во второй половине XIX века все более начали привлекать прикладные вопросы теории колебаний, составлявшие иногда даже целые области физики и техники (акустика и сейсмология с элементами сейсмометрии).
В 70-х годах XIX века появилось сочинение английского физика Дж. В. Стретта (лорд Рэлей) «Теория звука». Первая половина этого сочинения посвящена систематическому изложению основ линейной теории колебаний, а также некоторым нелинейным задачам, правда, лишь очень немногим. Во второй половине даны приложения этой теории непосредственно к вопросам акустики (распространение звуковых волн, музыкальные инструменты). Трудом Рэлея общая теория малых колебаний, т. е. колебаний, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, была в основном завершена.
Развитие быстроходных машин и средств транспорта создало богатые возможности для приложения и совершенствования этой теории. Здесь следует отметить работы А. Н. Крылова по теории качки корабля, по вибрациям стволов орудий и другим вопросам прикладной теории колебаний, Б. Б. Голицина по сейсмометрии, швейцарского ученого А. Стодолы по колебаниям элементов турбин и т. д. Эти работы относятся уже к началу текущего столетия и образуют прикладную ветвь теории колебаний.
Практические методы линейной теории совершенствуются и в наше время.
Задача о маятнике показала недостаточность линейной трактовки некоторых явлений, причем эта недостаточность особенно выпукло проявилась с развитием теории автоматического регулирования.
Как упоминалось, отдельные исследования по нелинейным колебаниям появлялись уже ранее. В 20-х годах нашего столетия к этим исследованиям добавилась работа голландского ученого Ван-дер-Поля, посвященная электрическим колеба-
ВВЕДЕНИЕ
9
ниям в контуре, содержащем электронную лампу, и давшая толчок к развитию ряда методов, составивших основу современной нелинейной теории колебаний.
Честь создания этой теории, оформившейся только в 30-х годах нашего века, принадлежит в значительной степени советским ученым, среди которых необходимо отметить JI. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, А. А. Андронова,
Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Б. В. Булгакова и других.
Интересно отметить, что ряд методов нелинейной теории колебаний заимствован из небесной механики, достигшей уже в прошлом столетии высокой степени точности исследований. Сюда надо, прежде всего, отнести исследования французского ученого А. Пуанкаре. Блистательный прогресс теории колебаний, особенно нелинейной, стал возможен благодаря крупным достижениям в теории устойчивости движения, возникшей в прошлом столетии и разработанной рядом ученых, среди которых первое место принадлежит А. М. Ляпунову.
Кроме простейшей задачи о колебании системы с одной степенью свободы, уже со времен Лагранжа стали рассматривать колебания связанных систем. Сюда относятся, например, крутильные и поперечные колебания валов с дисками, колебания локомотивов, гироскопов и т. д.
В последние пятнадцать — двадцать лет начала разрабатываться трудная задача о колебаниях связанных нелинейных систем.
Наряду с теорией колебаний систем с одной степенью свободы или с произвольным конечным числом степеней свободы, развивалась также теория колебаний сплошных сред, например, упругих тел. С этим вопросом, требующим для своего рассмотрения уже уравнений в частных производных, приходится встречаться в тех случаях, когда необходимо учитывать распределенную массу колеблющегося тела, балки, вала, пластины и т. д.
ГЛАВА I
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
§ 1. КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА
Физическая система называется колебательной, если все или некоторые величины, определяющие ее состояние, изменяются не монотонно, а претерпевают переменные увеличения и уменьшения. В простейшем случае механической системы *), определяемой обобщенными координатами
