Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Для простоты ограничимся случаем, когда до образования черной дыры система находилась в вакуумном состоянии. Пусть (? = (и, в, ^), %' = = (и, б’V))
Л(М')=<0: in I: Фои4(м, 0,v5)?Out(«'.0V):|O; in>; (9.5.22)
тогда
dt ґ Ї Ь Ь ,1
_ = JdSl — —-С,(и, 0,ір\ и , 0,^) , (9.5.23)
с/и I Oil OU J и =U
м , Г э э , , і
- — = JdSl ~ — С,(и 6,*\ и.0.* ) . (9.5.24)
CiU L OK о^р J и~и
I А
Используя для вычисления G(?, ? ) разложение (9.5.16) оператора Фои1
217
и соотношение (9.4.59), имеем
G(%^) = \ 2
I OCyOC
ь ь
'Va(X) — + Ua(H)-Ьфа дф
X
э э
tVtt) ГГ +^'tt') — ЪК' ь Фа,
Z[*,0;0]
2 < йа>о[ Ua(X)Ua^) + Ua(X)U0l(X)],
(9.5.25)
где (па)о — среднее число частиц в моде а, излучаемое черной дырой и описываемое выражением (9.5.1). Заметим, что поскольку суммирование в (9.5.25) ведется по полной системе функций, можно вместо Ua использовать любую другую полную систему функций на<7+. Удобно, в частности, переписать (9.5.25) в следующем виде:
С({, Г) =JcZco 2 <nw/m>0[tfw/m«)t/w/m(n +
Lm
где
Uwlm(H)
V4
(9.5.26)
(9.5.27)
7ГСО
Подставляя это разложение G в (9.5.23) и (9.5.24), выполняя операции дифференцирования и интегрируя по угловым переменным с использованием условий нормировки (9.4.4), окончательно получаем
dE 1 -Jdu 2 (9.5.28)
du
dJ
du
2-л О l,m ехр(Zijd) — 1
I f , ,-, 0UIlmrn I T0Jim |2
----J d со 2 -—¦— --------------
2л о I, m ехр (со/0) - 1
(9.5.29)
Если масса черной дыры велика, так что температура очень мала, то
(9.5.30)
°ш1т ~ 1 _
ґ~ la\ i ~ ^ ' 0Uilm)-
ехр (со/б) - 1 2
В этом пределе вклад в излучение дают только моды, удовлетворяющие условию суперрадиации, и мы имеем
,н
(9.5.31)
dE
] т П
— = — 2 / dcoco\Twim\2, du 2ТТ It m о
,и
2 / с/со m I Twtm
(9.5.32)
dJ 1
с/ы 27Г /, m о
д) Энтропия излучения черной дыры. Определим энтропию S для системы, описываемой матрицей плотности р, соотношением
S = Spift InР). (9.5.33)
218
Нетрудно убедиться, что если р записывается в виде
P = П ра, (9.5.34)
а
Л а*
где ра — оператор, зависящии только от операторов разложения ра и уничтожения $а в моде а, то S представляется в виде суммы:
S=ZSa, (9.5.35)
ОС
где
Sa = SPaiPa In Pa). (9.5.36)
Здесь Spa обозначает операцию взятия следа в пространстве, порождаемом
действием Pa на вакуум.
Как уже отмечалось ранее, коэффициент отражения RjrtIm волнового пакета Vjntm для достаточно больших значений п > N от п не зависит. Поэтому оператор ра, определяемый соотношением (9.4.35), также не зависит от п и, следовательно, для излучения от стационарной черной дыры выражение (9.5.75) расходится. Поэтому удобно вместо полной излученной энтропии S ввести скорость возрастания энтропии во внешнем пространстве dS/du, связанной с излучением. Для этого заметим, что волновые пакеты Ujntm с фиксированным значением п выходят на Cl+ в интервале запаздывающего времени от Iir (п — 1/2)/і? до 2тг (п '+ 1/2) /Е. Поэтому определим (a = jnlm) dS E Л
— = — Z Spa (Pa In Pa) ¦ (9.5.37)
du 2lT Ilm
Заметим теперь, что поскольку входящие в это выражение величины гладко зависят от частоты со и слабо изменяются при изменении ее в интервале от ]Е до (J + 1 )Е, то можно заменить суммирование по / интегрированием по частоте со:
?’Z(...)= fdaj(...). (9.5.38)
/ о
В результате, используя выражение (9.4.35) для ра, получаем
ГЛ
dS 1 “
— = — / с/со Z du 2тт о I, m
-е \ Га I \ Za-є /
(9.5.39а)
где Гa = OaITa I2, za = exp (toJв), є = 1. Это же выражение оказывается справедливым и для ферми-полей, если в нем положить е = — 1. Аналогичное выражение имеет место для полей различных спинов и для массивных полей. При этом суммирование распространяется на все квантовые числа, нумерующие состояния, а интегрирование при наличии у поля массы р ведется, начиная с у. Вклады нейтринного (s = 1/2), фотонного (s = 1) и гравитационного (s = 2) полей в энтропию излучения невращающейся черной дыры можно записать следующим образом [Пэйдж (1983)]: dS . I 1 \
— ^= IO-3M'1 (1,685/1 - +0,634/1(1) + 0,065/1(2)), '(9.5.39Ь)
du \ 2 !
где h (s) — число поляризаций поля спина s.
219
е) Распределение вероятностей. Вероятность Р(ка\1а)обнаружить в излучении черной дыры ка частиц в состоянии иа при условии, что в падающем на черную дыру потоке имеется I01 частиц в состоянии V0,, дается общим выражением (9.4.60). Можно показать, что это выражение может быть преобразовано к следующему виду [Бекенштейн, Майзельс (1977), Папанга-ден, Уолд (1977)]:
P (ka\la) = (Ia)Kka)'-
min (ка,1а)
XZ --------------
/1 = 0 {(I01
Ak0
W~e(l
<)(! -\Ra I2)
г\ка+10
(1
1
Wa
Ra I2)
¦,+In+ I
и)! (ка Нетрудно убедиться, что
л)!(л!)‘
(I -w2)2 IR0112 . (1 - |Ла I2)2 W2
Р(ка I Ia) = е
-(.<^а19)ка
P(IaIka).
(9.5.40)
(9.5.41)
Ниже мы покажем, что это условие обеспечивает детальное равновесие между черной дырой и полостью, вращающейся с угловой скоростью SIh и заполненной чернотельным излучением с температурой в.
