Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
на J+ получаем, используя (9.4.58), следующее выражение:
<па)т = </яа;іп[йа|ша; in> =
= {z»am“[(-l + Qa1 +IflaI2VyJe7a7aD7=O= <йа>0+та|Ла|2. (9.5.2)
Член <йа>0 описывает спонтанное рождение частиц из вакуума и дается выражением (9.5.1). В работе Бекенштейна, Майзельса (1977) было обращено внимание на то, что полученное выражение можно эквивалентным образом переписать в следующем виде:
<йа>т = A1a + Blma + (I —Ва)та, (9.5.3)
а величины
¦ (9.S.4)
exp(wa/0)-l
Oairj2
Bi = ------a_L^L----- (9.5.5)
l-exp(-wa/0)
можно интерпретировать как аналог коэффициентов Эйнштейна для процессов в черных дырах. Член AI описывает спонтанное рождение частиц из вакуума, Ba играет роль коэффициента поглощения, а Blma описывает индуцированное излучение частиц в моде а.
Величину 1 — Ba можно интерпретировать как вероятность рассеяния моды а черной дырой. Используя (9.4.16) и (9.5.4), запишем выражение для I Ra 12 в следующем виде:
Iflal2 =0 -Bi)+ Bi (9.5.6)
Это соотношение показывает, что величина IAJ2, характеризующая рассеяние черной дырой частицы в моде а, является суммой вероятности рассеяния 1 - Bi падающей частицы и вероятности индуцированного излучения Bi в этой моде. Поскольку Bi = В Iexp (-ІЬп I в), то для суперрадиа-ционных мод коэффициент индуцированного излучения Bi превосходит коэффициент поглощения Ba и IAaI2 принимает значения, большие единицы.
Соотношения (9.5.3)-(9.5.5) показывают, что излучение черной дыры подчинено тем же законам, что и излучение нагретых тел. Имеется, однако, весьма существенное отличие. Температура черной дыры определяется теми же параметрами (массой и угловым моментом), что и ее геометрические размеры, в то время как для обычного тела температура — независимый параметр.
в) Рассеяние когерентной волны. Выше мы уже отмечали, что имеется тесная связь процессов распространения во внешнем поле классической волны и отдельных квантов. Проследим эту связь более подробно для случая рассеяния на черной дыре. Рассмотрим падающую на черную дыру классическую волну, которая с квантовой точки зрения описывается как когерентная совокупность квантов и характеризуется следующим когерентным состоянием:
IT0; іп> = ехр ^ 7tf7^exp(7tfa;n tf)|0; in>. (9.5.7)
215
Условие нормировки этого состояния
<7^; in I ту, in) = 1 (9.5.8)
вытекает из следующего соотношения [см., например, Клаудер, Сударшан (1968) I:
А * AA AA
excY = е1*-у'Лу, (9.5.9)
А А
которое выполняется для произвольных операторов X и Y таких, что [X, Y] коммутирует с X и Y.
С помощью простой проверки легко убедиться, что
ain^4<,in'0 * + 7ц) • (9-5.10)
Используя это соотношение, можно показать, что среднее значение образа Ф;п поля ф на Cf ":
фщ = 2 (Vjrnt0i + Vjina) (9.5.11)
а
в когерентном состоянии (9.5.7) дается следующим выражением:
ф7а S<V’ inI^inlV in> == v0 + Jpv0- (9.5.12)
Для образа Ф0ut рассеянной волны на Cf + имеем
Ф°“* = <Ур, in I <I>out I in>- (9.5.13)
Заметим теперь, что справедливы соотношения
170-, in > < 7^; in I = Lr^PyPpy, (9.5.14)
фО»« = г VtfSp(^out). (9.5.15)
Фои< = 2(t/a.fe. + Uja), (9.5.16)
a
*.u, = {s(u.~ + (9.5.17)
\a\ Ьфа дфа/ Jc--O=O'
A A
где Py к К даются соответственно выражениями (9.4.53) и (9.4.46), причем в (9.4.53) отличны от нуля только те члены с уа и уа, в которых индекс а совпадает с 0. Эти соотношения позволяют установить следующую связь Ф°“* с функционалом Z:
фои* = е-^Л + иа-^-)г[ф,0-у]\ . (9.5.18)
уе l«V “ ьфа “ эфа) ------------------Io=O
Используя выражения (9.4.54)-(9.4.56) для Z, окончательно получаем ФЇ =VWj + VW' (9-5.19)
Иными словами, отношение квадрата амплитуды рассеянной волны к 216
квадрату амплитуды падающей равно I Rp \2. Эта величина больше единицы, т.е. происходит усиление тех мод, для которых выполнено условие супер-радиации аа < 0.
г) Потеря энергии и углового момента черной дырой при квантовом излучении. Если <Dout - образ поля у на J + , то интенсивности потерь системой энергии dEjdu и углового момента dJ/du, вызываемых излучением этого поля, даются следующими выражениями [ср. с (5.1.18)]:
dE Э Э
--=JdSl —Фоих -г-Фои». (9-5.20)
du ои ои
dJ Э Э
= JdSl- Фои,— Фои„ (9.5.21)
du ои Oif
где интегрирование ведется по сфере S2, и = const на С/* и dSl = = sin0 dd dip — элемент площади S2. Л
В квантовом случае <J>out следует заменить оператором <t>out> симметри-зовать выражение и произвести усреднение (9.5.20) и (9.5.21) по некоторому состоянию, отвечающему определенному выбору начальных условий. Поскольку в полученном выражении встречаются операторы поля в совпадающих точках, то требуется еще задать определенные правила регуляризации. В рассматриваемом случае эти правила крайне просты и сводятся к тому, что вместо рассматриваемого выражения берется его нормальная форма относительно операторов Pa и Pa- Причина обсуждаемой расходимости состоит в наличии вакуумных нулевых колебаний, приводящих к тому, что даже в отсутствие внешнего поля имеются указанные расходимости. Задача, интересующая нас, состоит в изучении влияния внешнего поля на состояние квантовой системы. Поэтому нам важны не потоки энергии и момента, связанные с флуктуациями вакуума в плоском пространстве, а лишь измеримые приборами изменения этих потоков, вызванные возникновением черной дыры, и мы должны произвести вычитание из рассматриваемых величин аналогичных средних по аут-вакуумному состоянию. Нетрудно убедиться, что эта процедура эквивалентна описанному выше переходу к нормальной форме.
