Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
1 1 ¦ ,
Vulm=-J==- ~Уг=Т е Ш^иІт(Г)У1тів,ф), (9.4.61)
\/47гы v> + а
212
где WtJim (г) удовлетворяет радиальному уравнению d2
T Wwlm +UwlmWwlm = 0 (9.4.62)
dr*
и следующим граничным условиям:
^wlm
1I2
T , е~‘ыг*'
1 Wlm с
(9.4.63)
Здесь
„ dr* г2 + а2 ,
<3= со-оті2 , ----- = —-----------------------------------------------------г > (9.4.64)
dr г — IMr + а
Uwlm =(ш — -Awlm) -BwIm > (9.4.65)
ат н
Awlm = ~Т—“ПОТ,
г2 + а2
XJ" — 2ясоот
(г2 + а2)2 (г2 + a2)3!2 dr \ (г2 + а2)3!2
((г1+»')3'2 )]’
(9.4.66)
а Л;ш - собственное значение, отвечающее функции (9.4.3).
Задача нахождения Rwim и Twtm, а также ее аналог для полей с другими характеристиками (спином, отличным от нуля, массой и зарядом) подробно исследовались в многочисленных работах. Ее подробное обсуждение и явные выражения для коэффициентов отражения и поглощения, отвечающие этим случаям, см. Чандрасекар (1983), где приведены также ссылки на оригинальные работы.
§ 9.5. Частные случаи
В этом разделе мы обсудим ряд конкретных результатов, вытекающих из общих соотношений (9.4.58)-(9.4.60).
а) Эффект Хокинга. Пусть первоначально, до образования черной дыры, система находилась в вакуумном состоянии. После возникновения черной дыры она становится источником излучения, причем среднее число частиц, излучаемых ею в моде а и регистрируемых отдаленным наблюдателем, дается следующим выражением:
<йа>о = < 0; in I йа|0; in > =
9 г. . Ла г« (9.5.1)
-ZaI 0,1-еХ“;0]) =
Va J ^a=O
ЭХа J^a=O ехр(?>а/0)-1
где Га = аа| Та\ 2, Wa = соа — отаSlfi, в = к/2тг - температура черной дыры. Отметим, что хотя при Wa = О знаменатель (9.5.1) обращается в нуль, среднее число частиц, рождающихся в подобных модах, остается конечным, поскольку одновременно обращается в нуль и | Та\2. Можно также убедиться, что изменение знака знаменателя при ша < О сопровождается изменением знака aa, так что в целом выражение (9.5.1) остается всегда положительным.
213
Поскольку коэффициент поглощения пакета Va стационарной черной дырой не зависит от момента времени v ~ IitnjE, когда этот пакёт был испущен, то число частиц, вылетающих на Cf+ , не зависит от момента запаздывающего времени и. Иными словами, образовавшаяся черная дыра становится источником стационарного излучения. Появление стационарного потока (мы уже отмечали зто выше) можно интерпретировать как следствие спонтанного процесса рождения пар частиц в стационарном гравитационном поле вблизи горизонта событий, в результате которого одна из частиц падает внутрь черной дыры, а другая вылетает на бесконечность *),
Возможна также другая интерпретация результата (9.5.1), в рамках которой более отчетливо выявляется роль нестационарности гравитационного поля в процессе образования черной дыры [эта интерпретация обсуждается, например, в работах Герлаха (1976) и Зельдовича (1976*)]. Рассмотрим поведение волнового пакета, испущенного с J~ при v < 0 с характерной частотой со так, что он проходит коллапсирующее тело и выходит наружу непосредственно перед моментом образования горизонта. Такой пакет испытывает сильное красное смещение, и его характерная частота становится со. Как бы велика ни была частота со, найдется такой момент V < 0, начиная с которого со ^ I/Tgt где Tg ~rgjc— характерное время гравитационного коллапса.
Для подобных квантов действие переменного гравитационного тополя коллапсирующей системы является существенно неадиабатически. Число квантов при неадиабатическом возмущении уже не сохраняется, а в вакуумном состоянии происходит рождение частиц. Чем больше частота нулевых вакуумных колебаний, тем ближе к горизонту они должны двигаться для того, чтобы оказалось выполненным условие неадиабатичности и родился реальный квант, и тем позднее выйдет он к отдаленному наблюдателю. Поскольку в вакууме имеются нулевые колебания со сколь угодно высокой частотой, этот процесс приводит к бесконечно растянутому во времени процессу излучения черной дыры.
Заметим, что в плоском пространстве процессы рождения частиц стационарным полем и полем, изменяющимся во времени, довольно существенно отличаются по своим характеристикам [см., например, Швингер (1956*)]. Особенность задачи о рождении частиц в черных дырах состоит в том, что рождение происходит в окрестности горизонта событий, который является светоподобной поверхностью. Именно поэтому описанные ’’стационарная” и ’’нестационарная” интерпретации этого эффекта не противоречат, а взаимно дополняют друг друга.
б) Индуцированное излучение. Пусть на черную дыру с “ падает m частиц в моде а. Тогда для среднего значения числа частиц в состоянии а
*) Унру (1981) обратил внимание на то, что явление квантового рождения частиц в черных дырах допускает гидродинамическую аналогию. Если при течении жидкости или газа имеется замкнутая двумерная поверхность, разделяющая области дозвукового и сверхзвукового течения (сопло Лаваля), то в подобной системе должно возникнуть излучение фононов с тепловым спектром.
214
