Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Л AA ,
средние значения наблюдаемых F = F(Pa, Pa) на J :
< 0; in I F(fa Ja) I 0; in > = Sp^pjv F) . (9.4.39)
В квантовой теории поля и квантовой статистике хорошо известен и широко употребляется следующий прием, позволяющий существенно упростить вычисления выражений типа (9.4.39) . Выберем в качестве F оператор
к [ф, ф] = ехр( E фаРа)ехр( 2 ФаРа) = ¦
a a
п > N п > N
¦ =: ехр[ 2 (ФаРа + ФаРа)]-- (9.4.40)
a
п> N
14.И.Д. Новиков 209
Заметим теперь, что если оператор F в (9.4.39) задан в нормальной форме F = F(PZltPa)=*
А А
2 , 2 ^al , . . . , ост -,OC11, , а’ ’ Pa1 ¦ • ¦ PZm Ра[ • ¦ • Pocm ' >
mf т Otl , ... , Otm т 1 т
«!.•••,«т1 (9.4.41)
то его можно записать в следующем виде:
F(&- *•> >]<¦¦* - • ¦ (9 4-42)
где
А— I *© I
\Ьфа ’ Ьфа)
= Б f т, т * 2 Fai,. “і ат ¦ ¦ ,ост . . ,a' -X
Ьфаг..дфат Ьфа,..Ьфат, Обозначим
(9.4.43)
Л _
г[ф,ф] =Sptf &,*(*,*)]; (9.4.44)
тогда имеем
<0;in\F(fcJa)tO;in>=lF^ , ~~ ^[ф, ф] J ф = -= Q. (9.4.45) Иными словами, вместо того чтобы каждый раз заново вычислять (F) =
УЧ
= Spf3(PnF) , достаточно провести вычисления этой величины один раз для
Л Л _ _
F = К[ф, ф] и найти величину Z [ ф, ф ], которая называется производящим функционалом. После этого задача вычисления < F) сводится к дифференцированию Z [ф, ф].
Можно посредством небольшой модификации описанного метода существенно расширить класс задач, решаемых с его помощью. Во-первых, оказывается удобным в качестве К выбрать следующее выражение:
Л — Л
К[ф, Ф,ц] - '¦ ехр[- 2 (ЦаРаРос ~ Фос& ~ФосРосУ : ¦ (9.4.46)
ОС
п> N
Поскольку дифференцирование по ца приводит к появлению выражения
А А А
па ~ PZPa, то введение зависимости OJ цв К позволяет легко вычислять средние от выражений, содержащих операторы числа частиц па - Во-вторых, путем введения дополнительных переменных уа,уа в Z можно получить формулы, позволяющие вычислять средние от оператора F не только в
210
вакуумном, но и в произвольном многочастичном начальном состоянии. С этой целью заметим, что
(VlFW) = Spip4rF), (9.4.47)
где
рф=|ФХФ|. (9.4.48)
В частности,
<0;in IF I 0; in > = Sp(P0Zr), (9.4.49)
где
Po = | 0; in MO; in | = : exp(- I Oin^aint0l) : (9.4.50)
а
Здесь : : — операция нормального упорядочения относительно операторов я.п.а = іВ(ра, $), д*п,а = - iB(va, $). (9.4.51)
Определим производящий функционал Z [ф,ц; 7] соотношением г[ф,ц;у] =Sp (?уК[ф,ф,»\), (9.4.52)
где
P7 =: ехр[— Б Ліп,а«іп,а+ 2 (тДп.а + 7аЯіп,а)] : • (9.4.53)
а а
п > N п> N
При ца = 0, уа = у а = О Z[ф, ц; 7] очевидным образом совпадает с выражением (9.4.44).
Явное выражение для производящего функционала Z[ір, /і; 7] имеет
¦ ' Jfc4 і
следующий вид [Фролов (1983а, 1986 )J:
г[ф,ц;у]= П Za[\pa,tia;ya], (9.4.54)
а
п > N
где
Za[\pa, Иа-,ул] =-^г ехр(т^ ) (9.4.55)
Здесь
Qa = 0 - *Va)(l - К I Roc I2 )-1 , ^a — Qa Ma ~ 0aMa>
Ра ~ (Ca Ma Qa ^a ) ^ Qa^a Уа Фа +
+ QaRaJata +(I -QaWata, (9.4.56)
Ra — коэффициент отражения,входящий в соотношение (9.4.15), а Waопределено равенством (9.4.27).
В заключение этого параграфа мы приведем два общих соотношения, устанавливающие связь производящего функционала Z [ф, ц ; 7] с основ-
14* 211
ными, представляющими физический интерес величинами, характеризующими квантовые эффекты в черных дырах.
Введем следующие обозначения:
1 Ъ,а д'а . 1 дка дка
Da = ------ —— ------г—, Д “ =-------- ----т— —=т—. (9.4.57)
“ Qa)'- дУа “ (*«)! dKa bKa
1) Пусть I otI, . . , a'm; in > = Sjnjtt;.. . а-Пі а-т | о; щ >, Q = Q(na<, . . .
А А__ЛЛДЛЛ
. . . , Ti0lk) - функция операторов па = и F = F(0*, 0а) - оператор, заданный в нормальной форме вида (9.4.41). Тогда
<ai,... ,ат; in і Qfioci,.. ., йа/с)і а[,. . . ,ат; in > =
olAi:,.............= 71I
\=г<у=г0,
(9.4.58)
{ 0! і, . . . , Otm , in і FQiot , ) j Ot і, . . . , Otm , in)
* К ¦ • ¦ ¦oiAir. ¦ іУад-"=0; ?1) »-т- (9А59)
2) Пусть P(kUi кап I Iai.........I0ln) - вероятность излучения черной
дырой на CJ* ка> квантов в моде Mttj, . . . , кап квантов в моде Uctn при условии, что на CJ имелось Zttj квантов в моде иа . . , Iotfi квантов в моде Uotft (ка. > 0, Ia. > 0, kaj + Iotl > 0). Тогда справедливы равенства
Pikoti,.. ., kaft I Iotft.,., Iotft) = P(kai Hai). .. P(kafl I Iotft), ^ ^ ^
Pika I Ia) = ІО'-Ака-га[фа, 1; уа] ]уа = ф^о-
Таким образом, вычисление средних значений наблюдаемых, корреляционных функций и распределений вероятностей для квантовых процессов в поле черной дыры эффективно сводится к выполнению операций дифференцирования производящего функционала Z, определяемого соотношениями (9.4.54) - (9.4.56). Подчеркнем, что производящий функционал полностью определен, если наряду с поверхностной гравитацией к и угловой скоростью SIh черной дыры известны также коэффициенты отражения Ra и поглощения Ta волновых пакетов Va черной дырой. При зтом, по описанным выше причинам, достаточно значения этих величин для волновых пакетов иа, движущихся в стационарной метрике Керра образовавшейся черной дыры. Нахождение коэффициентов Ra и Ta требует решения одномерной задачи рассеяния. Запишем решение Vtjtm уравнения (9.4.1) в метрике Керра в виде