Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Qu, Im -----— е,а1я(-и)/КГ1т(6,е)в{-и).
(9.4.24)
U = -K Чп(-и), i/j+ = —SIhk Чп(ги) + if,
Ga(v,e,ifi) = Qa(-v,e,if).
Покажем, что линейные комбинации ра и па функций ga и qa:
Pa ~ Caga ^aQa >
(9.4.25)
На CaQa ^aSa >
(9.4.26)
206
где
Sa = (w - I )
-1/2
(9.4.27)
- jt(w j — mil )/k
Wa = Є
обладают положительно-частотными по отношению к опережающему времени и образами на Cf' .
Для доказательства достаточно заметить, что функции ра и па получаются с помощью преобразования (9.4.6) из решений, которые на У~ содержат следующую зависимость от и (~°° < ш < °°):
В этом нетрудно убедиться, осуществив деформацию контура интегрирования в правой части (9.4.29) в нижней полуплоскости. Поэтому при р > О имеем
откуда и вытекает условие положительной частотности функций ра Yina.
Выберем в качестве ин-базисных положительно-частотных решений наборы функций
образом положительно-частотными на Cf функциями до полного ортонор-мированного базиса. Аналогичным образом аут-базис образуем путем дополнения наборов функций
до полной ортонормированной системы. Удобство описанного выбора
Fwim(V) = d(v)e-lwlnvI* +0(-и)е-’гы/ке-,ы1п(—и)/к. (9.4.28)
С другой стороны, о
/ e-ipve~iwln(-~v^lKdv =
-е™1к J e-tpve-iZlnvlKdv при р>0
(9.4.29)
о
/ е lpvFwlm (v)dv = О,
(9.4.30)
a = jnlm.
(9.4.31)
при п, больших выбранного выше значения N, дополнив их произвольным
п > N,
(9.4.32)
207
базисов, предложенного Уолдом (1975), состоит в том, что при этом выборе происходит факторизация матриц преобразования Боголюбова, и мы
имеем
¦ out п> .Ti out
W™ = A*- BXxit. (9.4.33)
Матрицы преобразований Aa и Ba, связывающие наборы ин-базисных ) и аут-базисных (W°ut) функций, легко определяются с помощью соотношений (9.4.15), (9.4.18) и (9.4.26) и имеют вид
Aa
Rot Sa ta 0 ^ і 0 0 Ca ta
0 0 C01 Г Q1 I . Ba - Ta Sa 0
0 C01 0 / \ 0 0 Sa
Ra 0 Ca. \ ! 0 -Sa ta 0
Ta 0 C0iT0l I Ba ~ 0 ~ Sa ?а 0
0 C01 0 J V 0 0 -Sa-/
O01 <0,
(9.4.34)
Aa I Ta 0 Сц/'ц I Ba “I 0 Sa^a 0 I , Oa ^ 0.
Таким образом, с помощью описанного способа перехода к базисам Уолда нам удалось получить явное выражение для тех коэффициентов преобразований Боголюбова, которые определяют связь ин- и аут-базисных функций при больших значениях п ^ N. Используя общие формулы
(9.2.29) и (9.2.30), можно получить выражение для оператора S-матрицы, Следующим этапом является вычисление матрицы плотности, описывающей излучение черной дыры. Обозначим через
Qa = ІВІЦаЛ),
/3* = - іВ(иаЛ)
операторы уничтожения и рождения частиц в состоянии иа. Пусть нас интересует вычисление средних вида < 0; in | F(Pa> Pa) I 0; in >. Используя выражения (9.2.29), (9.2.30) для оператора S-матрицы и представляя | 0; in > в виде
I 0;in > = S |0;out>, можно определить коэффициенты разложения (9.3.2) и вычислить искомую матрицу плотности.
В общем случае матрица плотности р, описывающая наблюдаемые на J+ и возникающая при усреднении по состояниям ha, зависит от деталей процесса образования черной дыры. Однако, если интересоваться значениями наблюдаемых на <7 +лишь в достаточно поздние моменты запаздывающего времени (и > M1), то зти детали оказываются несущественными и значения этих наблюдаемых зависят только от параметров образовавшейся стационарной черной дыры. В этом можно убедиться, если рассмотреть матрицу
А А
плотности рдг, получаемую из р дополнительным усреднением по всем состояниям на J +, кроме иа с п > N. Для получения явного выражения рд оказывается достаточным знания, вычисленных выше коэффициентов преобразований Боголюбова Aa иВа при n>N. Опуская детали вычисле-
208
ний, которые можно найти в работах Фролова (1983*а, 1986*), приведем здесь лишь окончательный результат:
= I' **“• (9.4.35)
її > N
Pa = Qa: exp[—QaP*aPa] - = баехр[1п(І -Qa)0*Ja], где Qa = (1 ¦- wa)(I - wa I Ra I2)”1, a :: означает операцию нормального
А А
упорядочения относительно операторов 0аи0а. {-Последнее равенство написано с учетом известного соотношения: ехр = exp [ln( 1 + т)Р*Р].)
Для невращающихся черных дыр выражение (9.4.35) было получено Хокингом. Пусть I па >- состояние, когда имеется па частиц в моде а. Тогда
Pa = 2 р„а n' I па)(п'а |. (9.4.36а)
”a-"a
Для невращающейся черной дыры
Рчап'а - 5„a«a <Г«)”а (?“'* - Є)Є(ЄШ/6 - Є +еГ«)'”а + Є. (9-4-36Ь>
где Га = I Га I2, а є = 1. Аналогичное выражение справедливо для Pa и в случае ферми-частиц, с той лишь разницей, что є в этом случае равно —1, а па может принимать значения 0 и 1 [Уолд (1975) ,Хокинг (1976b)]. Если пренебречь процессами рассеяния на гравитационном поле (Ra = 0), то полученное выражение переписывается в следующем виде:
pN=e'XJ\ (9.4.37а)
А + где Tf0 - свободный гамильтониан, описывающий вылетающие на J частицы:
Jf0= 2 OjJtJat (9.4.37b)
ОС
п > N
а
в = к/2тг (9.4.38)
- хокинговская температура черной дыры.
Выражение (9.4.35) для матрицы плотности рдг позволяет вычислять