Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Новиков И.Д. -> "Физика черных дыр" -> 90

Физика черных дыр - Новиков И.Д.

Новиков И.Д. Физика черных дыр — М.: Наука, 1986. — 328 c.
Скачать (прямая ссылка): fizikachernihdir1986.djvu
Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 144 >> Следующая


Qu, Im -----— е,а1я(-и)/КГ1т(6,е)в{-и).

(9.4.24)

U = -K Чп(-и), i/j+ = —SIhk Чп(ги) + if,

Ga(v,e,ifi) = Qa(-v,e,if).

Покажем, что линейные комбинации ра и па функций ga и qa:

Pa ~ Caga ^aQa >

(9.4.25)

На CaQa ^aSa >

(9.4.26)

206
где

Sa = (w - I )

-1/2

(9.4.27)

- jt(w j — mil )/k

Wa = Є

обладают положительно-частотными по отношению к опережающему времени и образами на Cf' .

Для доказательства достаточно заметить, что функции ра и па получаются с помощью преобразования (9.4.6) из решений, которые на У~ содержат следующую зависимость от и (~°° < ш < °°):

В этом нетрудно убедиться, осуществив деформацию контура интегрирования в правой части (9.4.29) в нижней полуплоскости. Поэтому при р > О имеем

откуда и вытекает условие положительной частотности функций ра Yina.

Выберем в качестве ин-базисных положительно-частотных решений наборы функций

образом положительно-частотными на Cf функциями до полного ортонор-мированного базиса. Аналогичным образом аут-базис образуем путем дополнения наборов функций

до полной ортонормированной системы. Удобство описанного выбора

Fwim(V) = d(v)e-lwlnvI* +0(-и)е-’гы/ке-,ы1п(—и)/к. (9.4.28)

С другой стороны, о

/ e-ipve~iwln(-~v^lKdv =

-е™1к J e-tpve-iZlnvlKdv при р>0

(9.4.29)

о

/ е lpvFwlm (v)dv = О,

(9.4.30)

a = jnlm.

(9.4.31)

при п, больших выбранного выше значения N, дополнив их произвольным

п > N,

(9.4.32)

207
базисов, предложенного Уолдом (1975), состоит в том, что при этом выборе происходит факторизация матриц преобразования Боголюбова, и мы

имеем

¦ out п> .Ti out

W™ = A*- BXxit. (9.4.33)

Матрицы преобразований Aa и Ba, связывающие наборы ин-базисных ) и аут-базисных (W°ut) функций, легко определяются с помощью соотношений (9.4.15), (9.4.18) и (9.4.26) и имеют вид

Aa

Rot Sa ta 0 ^ і 0 0 Ca ta
0 0 C01 Г Q1 I . Ba - Ta Sa 0
0 C01 0 / \ 0 0 Sa
Ra 0 Ca. \ ! 0 -Sa ta 0
Ta 0 C0iT0l I Ba ~ 0 ~ Sa ?а 0
0 C01 0 J V 0 0 -Sa-/

O01 <0,

(9.4.34)

Aa I Ta 0 Сц/'ц I Ba “I 0 Sa^a 0 I , Oa ^ 0.

Таким образом, с помощью описанного способа перехода к базисам Уолда нам удалось получить явное выражение для тех коэффициентов преобразований Боголюбова, которые определяют связь ин- и аут-базисных функций при больших значениях п ^ N. Используя общие формулы

(9.2.29) и (9.2.30), можно получить выражение для оператора S-матрицы, Следующим этапом является вычисление матрицы плотности, описывающей излучение черной дыры. Обозначим через

Qa = ІВІЦаЛ),

/3* = - іВ(иаЛ)

операторы уничтожения и рождения частиц в состоянии иа. Пусть нас интересует вычисление средних вида < 0; in | F(Pa> Pa) I 0; in >. Используя выражения (9.2.29), (9.2.30) для оператора S-матрицы и представляя | 0; in > в виде

I 0;in > = S |0;out>, можно определить коэффициенты разложения (9.3.2) и вычислить искомую матрицу плотности.

В общем случае матрица плотности р, описывающая наблюдаемые на J+ и возникающая при усреднении по состояниям ha, зависит от деталей процесса образования черной дыры. Однако, если интересоваться значениями наблюдаемых на <7 +лишь в достаточно поздние моменты запаздывающего времени (и > M1), то зти детали оказываются несущественными и значения этих наблюдаемых зависят только от параметров образовавшейся стационарной черной дыры. В этом можно убедиться, если рассмотреть матрицу

А А

плотности рдг, получаемую из р дополнительным усреднением по всем состояниям на J +, кроме иа с п > N. Для получения явного выражения рд оказывается достаточным знания, вычисленных выше коэффициентов преобразований Боголюбова Aa иВа при n>N. Опуская детали вычисле-

208
ний, которые можно найти в работах Фролова (1983*а, 1986*), приведем здесь лишь окончательный результат:

= I' **“• (9.4.35)

її > N

Pa = Qa: exp[—QaP*aPa] - = баехр[1п(І -Qa)0*Ja], где Qa = (1 ¦- wa)(I - wa I Ra I2)”1, a :: означает операцию нормального

А А

упорядочения относительно операторов 0аи0а. {-Последнее равенство написано с учетом известного соотношения: ехр = exp [ln( 1 + т)Р*Р].)

Для невращающихся черных дыр выражение (9.4.35) было получено Хокингом. Пусть I па >- состояние, когда имеется па частиц в моде а. Тогда

Pa = 2 р„а n' I па)(п'а |. (9.4.36а)

”a-"a

Для невращающейся черной дыры

Рчап'а - 5„a«a <Г«)”а (?“'* - Є)Є(ЄШ/6 - Є +еГ«)'”а + Є. (9-4-36Ь>

где Га = I Га I2, а є = 1. Аналогичное выражение справедливо для Pa и в случае ферми-частиц, с той лишь разницей, что є в этом случае равно —1, а па может принимать значения 0 и 1 [Уолд (1975) ,Хокинг (1976b)]. Если пренебречь процессами рассеяния на гравитационном поле (Ra = 0), то полученное выражение переписывается в следующем виде:

pN=e'XJ\ (9.4.37а)

А + где Tf0 - свободный гамильтониан, описывающий вылетающие на J частицы:

Jf0= 2 OjJtJat (9.4.37b)

ОС

п > N

а

в = к/2тг (9.4.38)

- хокинговская температура черной дыры.

Выражение (9.4.35) для матрицы плотности рдг позволяет вычислять

Предыдущая << 1 .. 84 85 86 87 88 89 < 90 > 91 92 93 94 95 96 .. 144 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed