Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
функций на H *, то систему (иа, йа> ha, ha) можно выбрать как аут-базис. В качестве ha удобно выбрать решения, которые определяются следующим
образом. Пусть hwlm — решения, обращающиеся в нуль на Cf и принимающие на H * значения в координатах (4.4.1)
Klm I = 1 ....... е-‘“”У1т(е,у), (9.4.11)
у 4п I со - т?2н | (г2 + а2)
и пусть ha — волновые пакеты (9.4.6), построенные для этих решений. Определим ha с помощью соотношения
ha =e(oa)ha +в(—оа)ЇЇа, оа =sign(cj;- - m?lH). (9.4.12)
Можно убедиться, что функции ha удовлетворяют следующим условиям нормировки:
B(ha,ha,) = B(ha,ha>)^ 0, B(ha,ha,) = ibaa,. (9.4.13)
В пространстве-времени вечной черной дыры, описываемом метрикой Керра, волновое уравнение (9.4.1) допускает полное разделение переменных, и поэтому в этом пространстве имеется следующая связь между вв&. денными волновыми функциями:
о Im ~ ^td/m ^ • (9.4.14)
204
Коэффициенты RiiiIm и Tiijtm будем называть коэффициентами отражения и поглощения волны Viljtm черной дырой. Для классической волны величина I RitJim 12 равна отношению энергии рассеянной волны к энергии падающей. Это отношение становится больше единицы для тех волн, для которых выполнено условие суперрадиации. Если выбрать параметр E при построении пакетов достаточно малым, a RiljIm и Tiijtm гладко зависят от частоты о;, то аналогичное разложение можно записать и для волновых пакетов:
va = Raua + Taha. (9.4.15)
Заметим теперь, что волновые (иа = Vjnlm) пакеты с достаточно большим значением п(> N = V1/Е) в пространстве-времени черной дыры, возникающей в результате коллапса, движутся в метрике, практически не отличающейся от метрики Керра (см. рис. 75). Поэтому для них также выполняется соотношение (9.4.15). Из условий нормировки функций Va, иа и ha вытекает следующее соотношение:
|Л« I2 + оа I Ta I2 = 1. (9.4.16)
Из него следует, в частности, что I-RaI2 > 1 для тех мод, для которых выполнено условие суперрадиации оа < 0.
Следующий этап состоит в нахождении коэффициентов преобразования Боголюбова, связывающих построенные ин- и аут-базисы. Эта задача существенно упрощается, если воспользоваться следующим приемом, введенным Уолдом (1975). Далее, не оговаривая этого особо, мы будем рассматривать волновые пакеты, индекс а для которых удовлетворяет условию п> N, так что для пакетов с этими индексами выполнено соотношение (9.4.15). Определим волновые пакеты qa, потребовав, чтобы они были ортогональны и а:
В( qa , va,) = В( qa , Va,) = 0 (9.4.17)
й допускали разложение
Qa = taiia + raha. (9.4.18)
Через qa обозначим волновой пакет, связанный с qa соотношением
Qa = 0 (oa)qa+d (-(Ja)Ija (9.4.19)
и нормированный условием
B(q„,qt) = i& ,. (9.4.20)
V-I0,* -Ia і аа \ /
Условия ортогональности и нормировки приводят к выполнению наряду с (9.4.16) также следующих соотношений:
I ra I2 + Oa I ta I2 = I, taRa+oaraTa = 0. (9.4.21)
Из свойств симметрии метрики Керра по отношению к преобразованию
t -* — t, у -+ — ip следует равенство [см., например, Унру (1974) ]
Ta = оа ta. (9.4.22)
205
Используя соотношения (9.4.15), (9.4.16), (9.4.18), (9.4.21) и (9.4.22), можно получить
Это соотношение показывает, что если проследить за эволюцией в прошлое
дыры, выходит на J при и > 0, а другая ( Taqa) проходит через коллап-сирующее тело в момент времени, предшествующий возникновению горизонта событий, и выходит на CJ при и < 0. Хокинг (1975) показал, что для описания распространения этой второй части можно использовать приближение геометрической оптики и что в этом приближении волновой пакет Qa на Cf' получается с помощью преобразования (9.4.6) из функции
Здесь CJ = CJ — т SIh , а в (х) — ступенчатая функция, отличная от нуля и равная 1 при х> 0.
Для получения этого результата достаточно рассмотреть поведение поверхности постоянной фазы для ВОЛНЫ Uwtm . В приближении геометрической оптики эта поверхность — световая. Вне коллапсирующего тела, в области, где геометрия пространства-времени хорошо аппроксимируется метрикой Керра, эта поверхность описывается уравнением U = const, где U — запаздывающая координата Керра, а ее образующие — световые геодезиче-/*4*'
ские U = const, i/j+ = const, в = const (см. § 4.4). При продолжении в прошлое эти геодезические проходят через коллапсирующее вещество и выходят на У~ в точке с координатами (и < 0). Можно убедиться
I1V
[Хокинг (1975) ], что при U-* °° имеют место следующие соотношения:
связывающие U, с и, у. Если учесть, что на 3* координаты U, у + совпадают си, у, то приходим к выражению (9.4.24) для QbjIm ¦ Указанное приближение выполняется тем лучше, чем в более поздние моменты времени и выходит на Cf* пакет иа. Мы будем считать, что число N выбрано достаточно большим и описанное приближение выполняется с необходимой степенью точности.
Введем еще одно семейство решений ga, определив их с помощью задания образов Ga на Cf' :
Ua Taqa + Ra иа.
(9.4.23)
пакета иа, то часть его (RaVa), рассеиваясь на стационарном поле черной
