Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
, ( А* -В'\
А>). (9.2.24)
В приведенных формулах штрих вверху означает транспонирование, а + — эрмитово сопряжение матриц: ( )+ = ( )'. Условия CC = C-1C = / означают выполнение равенств
AA* - BB* = I, А*А - В'В = /, (9.2.25)
(A-1B)'= A-1B, (ВА~1)' = BA-1.
(здесь I — единичная матрица).
Оператор S-матрицы, связывающий ин- и аут-состояния, определяется соотношениями
binS = Sbout. (9.2.26)
AA А
Можно убедиться, что этот оператор является унитарным (SS* = Г),
обладает свойством
S I z'i ; out > = I z'i in > (9.2.27)
и допускает следующее представление:
1
S = 2 IZ1 in > —. < Z1 ; out I. (9.2.28)
" Л п • Л
Если подставить bin = boutC в (9.2.26), то, решая получившееся урав-
А А
нение, можно выразить оператор S через ^out. Соответствующее решение допускает следующее представление [Березин (1965*), Де Витт (1965)]:
S = е 0 Г 6Хр fl out ^ ^out ^ ^out(^ -O^out ^ ~ ^out ut >
(9.2.29)
где означает операцию нормального упорядочения*) относительно аут-операторов, a?ut = (5out)' и
A=A-iB, V=-BA-1, M = A-1',
eiW° =e[det(A*A)]-44, |0|=1
(здесь fl0ut ^^out “ ^ ^out, I Л * Clout, f ИТ.Д.)-і.І
Из (9.2.25) вытекает симметричность матриц Ли V:
A' = A, V = V. (9.2.31)
Этот результат, состоящий в том, что имеется возможность явно вычислить оператор S-матрицы, содержащий полную информацию о квантовых эффектах рождения, рассеяния и поглощения частиц во внешнем поле,
*) Эта операция состоит в том, что в разложении соответствующего выражения в ряд по операторам рождения и уничтожения все операторы рождения располагаются слева от операторов уничтожения. То же выражение (9.2.29) описывает 5-матрицу и в случае ферми-полей. При этом матрицы Ли V антисимметричны. Общее выражение для них через коэффициенты Боголюбова дано в книгах Березина (1965*) ,ДеВитта (1965).
199
если известны коэффициенты преобразования Боголюбова, определяемые путем решения классических уравнений (9.2.2), является основным для рассматриваемой теории во внешнем поле. Можно убедиться, что матрицы V, M и Л, входящие в (9.2.29), непосредственно связаны с амплитудами вероятности элементарных процессов рождения, рассеяние и уничтожения во внешнем поле:
< і, /; out I 0; in >= eiW* Vі’,
< г, out I /; in ) = e'w,> M1’, (9.2.32)
< 0; out I /,/; in > = e‘w« A'1.
§ 9.3. Усреднение по’’ненаблюдаемым” состояниям.
Матрица плотности
Обсудим теперь более подробно те особенности, которые отличают задачу о-рождении частиц в черных дырах от общей задачи во внешнем поле, рассмотренной в предыдущем разделе. Как уже упоминалось, характерным для процессов с участием черных дыр является возможность разделить множество аут-состояний на два класса, представителей которых мы условно будем называть ’’видимыми” и ’’невидимыми”. К первому классу относятся состояния, отвечающие частицам, вылетающим от черной дыры, ко второму — падающим внутрь нее*). Чтобы сделать это разбиение явным, договоримся использовать вместо индекса г, нумерующего аут-состояния, индекс а для нумерации ’’видимых” и индекс а для нумерации ’’невидимых” состояний. Примем также обозначения
АА АА
Pa — aout,a > ^a=^out,a>
I ?*1,, QJfc;/3> ICtl,----ат,Ъ) =
= 0*а, ••• ккк, ... Km I 0; out >. (9.3.1)
Произвольный вектор пространства аут-сОстояний | Ф > допускает следующее разложение:
I Ф ) - Z Z t оск,а ат I ® 1» • • • > > 0 ) I ЯI • • • • > Om , Ъ ).
к, т a, ,...,Oik
Oi....ат (9.3.2)
А - А
Для среднего значения < Ф I F | Ф >^произвольного оператора F, зависящего только от ’’видимых” состояний F- F(l3*а,ра), имеем
<л|/ I F I Ф >- E Z 'Pa,' ............ос’к’;д\........................ат Х
Ac, т a J , к ’ т a’, ,„.,a’fc* я і »•••» <*т
а\ .4'
X < а/...., ак,;р1 <а\....а’т,\Ь \ F(pa Ja) Ia1......ат ;Ь) | O1,...,ак; р >.
а л. (9-3.3)
Поскольку оператор F не зависит от Ъа и Ъа , а состояния | аат ; Ъ)
*) При наличии связанных состояний условимся относить их ко второму классу.
200
удовлетворяют условиям нормировки
<д1.....««'ІМві......ат\Ъ)=Ьтт, 2
ПО всем перестановкам
....ат> (9.3.4)
то соотношение (9.3.3) можно переписать в виде
< Ф I F | Ф > =
= 2 2 Rn , (aj,, а'/; |3 I FI O1,..., ак; /3 > =
а і , , а fc; а|, ...» а,# * * ’ к >г^ 1 1 1 ’ ’ * ’ ^
k, k' Ocl , , a I1
= Spjj(pF), (9.3.5)
где
Л
а,, ..., ак; ак , afc,
= 2/и! 2 Ф, , , Ф , , (9.3.6)
а, , a ,Jel.......u,„ а,....ак; a Uffl
m аі , --,aIti К
P= 2 2 І«і.-.о*;0>Лаі,.„>ак.а».........а' < “І.....01
к. к' a] ,...,OCk
“1.....0V (9.3.7)
и Spp означает операцию вычисления следа в пространстве состояний ’’видимых” частиц.
А
Следует особо подчеркнуть, что введенная выше матрица плотности р не зависит от способа определения понятия частицы для ’’невидимых” состояний. На примере преобразований, связывающих ин- и аут-базисы, мы
уже отмечали, что отвечающий этому преобразованию оператор S является А + А 1
унитарным: S = S-. Очевидно, что это свойство имеет место для подобных канонических преобразований общего вида. Изменение базиса в подпространстве решений, отвечающих ’’невидимым” частицам, описывается
