Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В(и‘, и’) = В (и \ и') = О, В(и‘, и') = й V. (9.2.7)
Здесь индексы і, /, ... нумеруют базисные решения. Каждое решение
уравнений (9.2.2), удовлетворяющее наложенным граничным условиям, допускает разложение по этому базису. В частности, для оператора поля ірА имеем
Jl4(X) = 2 [SlUjl(X) + 2?(X)], (9.2.8)
і
где
а. = іВ(її‘, *), a- = -iB(u\ ?). (9.2.9)
Если поле $А эрмитово ($А = $А), то а,*= (д,)*. Постоянные операторы
V1 и Si, называемые операторами рождения и уничтожения частиц в состоянии с волновой функцией игА(х), удовлетворяют следующим коммута-
*) Заметим, что коммутационные соотношения, записанные в форме (9.2.6), имеют большую область применимости, чем (9.2.5). В частности, они справедливы для теории со связями (т.е. когда det(/,/1B00) = 0), для которых правила (9.2.5) стандартного канонического квантования требуют изменения.
196
ционным соотношениям:
[Sh S,] = [Sr, 2;] = О, [Si, а- ] =5,.,. (9.2.10)
В этом легко убедиться, если использовать соотношение (9.2.6) и условия нормировки (9.2.7).
Вакуумное состояние I 0 >, отвечающее данному выбору базиса, определяется условием
5,-10) = 0. (9.2.11)
Состояние І Z 1 , . . ., і „ ), в котором имеется п частиц с волновыми функциями и1'А (jc) , . . ., и‘" Ос), получается из вакуума в результате действия на него соответствующего числа операторов рождения:
IZ1,...,/„>=2; ... 2; ю>. (9.2.12)
*1 1п
Эти базисные многочастичные состояния являются собственными для оператора п{ = а* а( числа частиц в моде і:
П
nt Izll ) = nt I /1, И,= 2 Siik (9.2.13)
it= і
и удовлетворяют следующим условиям ортонормируемости и полноты:
<11 1/1,... Jm > = 0,если пФт,
</,,...,/„ 1/1, ...,/„>= 2 S ...Stj , (9.2.14)
повеем '1,> 1п,п
перестановкам <<1 , <п)
7=10X01+ 2 I > ^7U1,...,i„ I. (9.2.15)
и = 1 П\
А
В последнем равенстве / — единичный оператор, а суммирование ведется по всем (z'i, ..., z'„).
Очевидно, что выбор базиса (и'А< й‘А) и связанного с ним определения ’’частицы” далеко не однозначен. Приведенная выше формальная конструкция приобретает физический смысл только в том случае, когда удается четко описать набор признаков, по которым мы отличаем вакуумное или одночастичное состояние от всех остальных возможных квантовых СОСТОЯНИЙ системы. В конечном счете этот вопрос сводится к описанию детектора, с помощью которого мы регистрируем частицы. Согласно квантовой теории измерений этот прибор описывается эрмитовым оператором, собственными векторами которого являются состояния, отвечающие определенному числу регистрируемых этим прибором частиц.
В стандартной схеме теории, когда внешнее поле ’’выключается” в отдаленном прошлом и в отдаленном будущем, можно определить все необходимые понятия в этих асимптотических ин- и аут-областях. В каждой из них приходится иметь дело со свободной теорией бозе-полей в плоском пространстве-времени, для которой однозначно определены сох-
А А
раняющиеся операторы энергии P0 и импульса Pi, отвечающие трансляциям по временной (х°) и пространственным (*0 координатам в
197
пространстве Минковского:
[?,*] = - (9.2.16)
і
Здесь і-м = 5 м — векторные поля Киллинга, порождающие соответствующие трансляции. Вакуумное состояние в каждой из асимптотических областей определяется как низшее собственное состояние оператора энергии P0 - Этот выбор однозначно соответствует тому, что в качестве базисных выбираются функции, обладающие свойством положительной частотности ш отношению к временной координате х°:
ЭмUiji(X) = -HJlUtjt. (9.2.17)
Чтобы отличить два базиса, состоящие из решений (и'А , U1 ), для которых соотношения (9.2.17) играют роль асимптотических граничных'условий в будущем (аут-базис) или в прошлом (ин-базис), мы будем снабжать базисные функции индексом out и in соответственно. Аналогичным образом мы будем использовать эти дополнительные индексы для того, чтобы различать величины, определяемые с помощью этих базисов. Так, например,
{p. =2(ain jU1. . +а.* м! .) = yA і т,А in, і in, А'
= Z(e . .и1 t . +в*’ м‘ , .), (9.2.18)
out,і out,/l out,і out,Л'
a\n,i I 0;in > = 0, S0Ut1I I 0; out > = 0. (9.2.19)
Поскольку ин- и аут-базисные функции удовлетворяют различным граничным условиям, то ин- и аут-базисы, вообще говоря, не совпадают. Коэффициенты матриц A4 и Bt', связывающих ин- и аут-базисы
Ui t , =Z(-4'V , +В('й! .), (9.2.20)
outM in ,A in,Л 4 '
носят название коэффициентов преобразования Боголюбова. Используя условия нормировки (9.2.7) , имеем
А1,=іВ(йІ ,и1 ), В1'= -іВ(и[ ,и1 ). (9.2.21)
4 in out7 4 in out' 4 '
Для сокращения записи удобно ввести следующие матричные обозначения:
л - ҐЛ л* ч ^in ~ Wn,/> ^in, І )’ out out out
(9.2.22)
/ Цп I out
uin =
*ut \ UI1
' OUty
Используя эти обозначения, имеем
Л Л л
Vout= Cvin, bin=boutC, <р — binvin - boutvout, (9.2.23)
^OUt ~ ^in С , Ujn ~ С Uout •
Для коэффициентов матрицы С-1, обратной по отношению к С, соот-198
ношения (9.2.21) позволяют получить следующее выражение:
