Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
В задаче о рождении частиц в черных дырах имеются два существенных момента, приводящие к необходимости модификации стандартной схемы. Во-первых, хотя в физически реалистической постановке задачи, когда рассматривается процесс коллапса, приводящий к образованию черной дыры, можно считать гравитационное поле в прошлом (до начала коллапса) слабым и определить все состояния, относящиеся к ин-области, ’’выключить” естественным образом гравитационное поле образовавшейся черной дыры в будущем не представляется возможным. Уменьшение массы черной дыры приводит к увеличению, а не уменьшению поверхностной гравитации и, следовательно, интенсивности ее излучения. Поэтому, например, процесс ’’выключения” гравитационного поля черной дыры путем формального уменьшения ее массы не приводит к желаемому результату.
Во-вторых, и это более существенно, отдаленный наблюдатель может зарегистрировать состояния только тех частиц, которые вылетают наружу. Частицы, рождающиеся и попадающие внутрь черной дыры, остаются для него ’’невидимыми”. При описании любых наблюдений вне черной дыры по состояниям этих частиц происходит усреднение. Иными словами, наблюдатель вне черной дыры всегда имеет дело только с частью полной квантовой системы, и, в соответствии с общими принципами квантовой механики, излучение черной дыры описывается матрицей плотности, даже если первоначально (до образования черной дыры) мы имели дело с чистым квантовомеханическим состоянием. Заметим, что необходимое усреднение приводится как раз по тем состояниям, вторые отвечают ’’частицам”, всегда остающимся в области сильного поля. Именно для них само понятие ’’частица” является плохо определенным из-за невозможности ’’выключения” поля черной дыры. К счастью, результат усреднения, описывающий состояние излучения черной дыры, не зависит от произвола в выборе того или иного способа описания этих ’’невидимых” состояний.
194
Подводя краткий итог сказанному, отметим, что интересующая нас задача вычисления характеристик квантового излучения черной дыры естественным образом разбивается на два этапа: вычисление оператора S-матрицы и усреднение его по части аут-состояний, отвечающих ’’невидимым” частицам. Общий формализм построения S-матрицы для задач во внешнем поле мы приведем в этом параграфе, а задача вычисления матрицы плотности, описывающей излучение черной дыры, будет рассмотрена в следующем.
Изложим (по необходимости кратко) схему построения квантовой теории свободных бозе-полей в заданном внешнем (не обязательно гравитационном) поле51!).
Общее выражение для действия, описывающего систему действительных бозе-полей УА(х) (A = I, ..., М), взаимодействующих с произвольным заданным внешним полем ?у (*) (К = 1, .. ., 0, записывается следующим образом:
где Pabuv = Р{АВ) {uv), Nabu = Niab 1м, Tab = Т(лв) - действительные
функции от внешнего поляку и его производных. Напомним, что по повторяющимся индексам (в том числе по индексам А и В) производится суммирование. Варьирование этого действия по динамическим переменным у приводит к следующим уравнениям поля:
Поскольку для произвольной пары функций у^ и \р2 имеет место соотношение
то, используя теорему Стокса (П. 32) **), можно убедиться, что выражение
вычисленное для произвольной пары решений , у2 уравнения (9.2.2),
*) Более подробное изложение этой теории, а также теории ферми-полей в искривленном пространстве-времени см. Де Витт (1965, 1975), Биррел. Девис (1982), Фролов (1979,1986*).
**)Если пространство некомпактно, то предполагается, что решения и #2 достаточно быстро убывают на бесконечности.
(9.2.1)
DabVb = Pabuv дцди-(Nabu -РАВи\ „)ЭМ -
(9.2.2)
(9.2.3а)
где
(9.2.3b)
B(yl,y2)= f Ви(у1 ,у2)(1ор , 2
(9.2.4)
13*
195
не зависит от выбора полной поверхности Коши E. Антисимметричную билинейную формуй, заданную на пространстве решений уравнения (9.2.2) будем называть канонической формой, отвечающей этому уравнению В квантовой теории поле <РА(х) рассматривается как операторное реше ние уравнения (9.2.2). Канонические коммутационные соотношения, кото рым подчиняется этот оператор, формулируются стандартным образом Пусть
_J?_- pABOv „ +JLyv4fi0 „
я Cjc) 7“ -----р V + ~ ,
, О
— импульс поля <рА; тогда
[^(дг,х°), $в(х', X0)] = 0, [тгА(х, X0), пв(х', X0)] = О,
\*А(Х< *°), лв(х’,х0)] =І8ВА 83(х,х'). (9.2.5)
Простой проверкой можно убедиться, что канонические коммутационные соотношения (9.2.5) полностью эквивалентны следующему соотношению*) :
[В(^, $>), В{уг, J)] = іВ($1, у2) (9.2.6)
при условии, что оно выполнено для произвольной пары <р1А и ^2a класси-
ческих решений системы (9.2.2).
Для введения понятия частицы оказывается удобным рассмотреть множество комплексных решений, удовлетворяющих тем же уравнениям
(9.2.2) и тем же граничным условиям, что и поле , и выбрать в этом пространстве решений базис, т.е. полную систему линейно независимых решений. Удобно потребовать, чтобы этот базис состоял из комплексносопряженных друг другу решений и1А (х) , й\ (х) , удовлетворяющих следующим условиям нормировки:
