Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Прайс (1972 а, Ь) показал, что для каждого радиационного мультиполя любого поля со спином х существует скалярное поле Ф^ , зависящее только от г Hf, такое, что его дифференцированием и алгебраическими операциями можно получить все компоненты исходного поля данной мультипольности. Каждая такая скалярная функция удовлетворяет уравнению [см. также (3.2.1)]
Э2Ф(/} Э2Ф(/} (s) (s)
------77Т = V (г>ф > (3.1.1)
дг; с dt 1 '
где Vt ^ (г ) —эффективный потенциал, определяющий эволюцию поля Ф^*. Этот эффективный потенциал зависит от / и х (и, конечно, также от г и М).
Для скалярного, векторного и тензорного полей соответственно
3 rg 1(1 + 1)
(3.1.2с)
Несмотря на разную форму этих потенциалов, они не сильно отличаются друг от друга, их асимптотики при г ->r g иг -*°° и другие свойства, определяющие эволюцию волновых полей, сходны. Поэтому эволюция радиационных мультиполей полей с разными х также оказывается сходной. Вследствие этого для многих задач достаточно рассмотреть поведение какого-либо одного поля.
38
Как мы уже говорили, особый интерес представляет исследование поведения гравитационных возмущений метрики Шварцшильда, являющих собой гравитационные волны, т.е. частный случай поля со спином
X =2.
Остановимся на этом случае более подробно.
§ 3.2. Гравитационные возмущения метрики Шварцшильда
Рассмотрим малые возмущения шварцшильдовской метрики, следуя в основном анализу Торна (1976).
В соответствии с общим Подходом, изложенным в § 3.1, произвольное возмущение метрики может быть разложено по тензорным сферическим гармоникам, характеризуемым числами I, т (где I т \ </), а также четностью TT= (-1)' для ’’четных” и тг = (— 1)1 + 1 для ’’нечетных” возмущений.
Возмущение с I = 0 описывает изменение массы черной дыры. Возмущение с I = I описывает добавление малого углового момента (вращения черной дыры); мы остановимся на этом позже*). Оба эти типа возмущений не эволюционируют со временем.
Рассмотрим радиационные мультиполи с I > s. Для анализа удобно ввести новую радиальную координату [Уилер (1955)]
г. = г + rgln(r/rg - 1). (3.2.1)
При фиксированных I > 2, т, п имеется единственная динамическая переменная Ф, зависящая только от г., f к I (индексы у Ф мы опускаем) , которая в отсутствие источников поля удовлетворяет уравнению Редже - Уилера (1957) :
Э2Ф Э2Ф ...
Ta-------TTT =Vw*, (3.2.2)
Эг2 с dt
где V задается (3.1.2с). Переменная г. меняется от — °° (когда
г -+ rg) до +°° (когда г ->«>). Потенциал , записанный в координатах г,, обладает следующими свойствами: он заметно отличается от нуля только при rt в окрестности нуля (г 1,5 гу); при г, -* ± <» он
быстро убывает. Таким образом, К<2) (г,) имеет характер потенциального барьера. Поэтому уравнение (3.2.2) описывает одномерное прохождение волны через потенциальный барьер. Свойства решения этой задачи хорошо известны. Волны с длиной, много меньшей ширины барьера (\<rg), свободно проходят сквозь него. Волны CX^rg частично проходят сквозь барьер, частично отражаются. Наконец, волны с Х^г^ полностью отражаются от барьера.
Для волны частоты со (частоты со, вообще говоря, комплексные, мнимая часть описывает затухание или нарастание ,амплитуды волны) зависимость от времени определяется множителем eiu>t. Для каждого радиационного мультиполя 1> 2 и некоторых специальных значений частот сосуществуют решения уравнений (3.2.2), в которых нет входящих волн ни с г, =
*) Мы не рассматриваем здесь нефизическое возмущение, связанное с малым изменением положения черной дыры как целого в данной системе отсчета.
39
Таблица I
Z = 2 Z = 3 Z = 4
0,37367 +0,08896/ 0,59945 + 0,09271 / 0,80918 + 0,09416 /
0,34844 + 0,27469/ 0,58201 +0,28116/ 0,79657 + 0,28439/
0,42629 + 0,37273/ 0,56010 + 0,42329/
ни с г, = +°°. Это так называемые квазинормальные моды колебаний черной дыры. Соответствующие частоты называются собственными частотами. На существование таких решений было указано Чандрасекаром и Детвилером (1975а) . В этой же работе они нашли собственные частоты для нескольких мультиполей, приведенные в табл. 1. (Эти частоты выражены в единицах [GM/c3]~l = 2тг(32312Гц) (MfMe) .) Все перечисленные в таблице собственные частоты имеют положительные мнимые части. Это означает, что колебания затухают с течением времени. Если со = а + ai, то зависимость от времени определяется в виде еіш = eict~at и затухание амплитуды колебаний при фиксированном г, записывается так:
амплитуда после одного колебания / 2тга\
----------------------------------=ехр(---------). (3.2.3)
начальная амплитуда \ а /
Для самой медленно затухающей моды I =2 это отношение равно 0,22. Затухающие Ф-волны собственных колебаний частично уходят на бесконечность (г, = +«>), частично — в черную дыру (г, = —°°).
Как мы увидим далее, собственные колебания черной дыры интенсивно возбуждаются падающими в нее телами, возникают при несимметричном гравитационном коллапсе, образующем первоначально несимметричную черную дыру, которая с течением времени приходит в равновесное симметричное состояние (после осцилляций), и т.д.
