Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
где daм„ и daM — элементы поверхностей ЗЇ и I соответственно. При описанном выше способе выбора поверхности 2 ее граница ЗI состоит из
*) При описании заряженной вращающейся черной дыры в рамках 5-мерной теории гравитации Калуцы - Клейна величины ПН и ФЯ входят в выражения сходным образом и их свойства в известной мере аналогичны [Блейер и др. (1985) ].
М°° =-J (2ТЇ -T8t)tfr)do+J^A,
(11.2.30)
где 12я — угловая скорость, Jh- угловой момент, к — поверхностная
(11.2.31)
(11.2.32)
(11.2.33)
Э? ?
258
Рис. 83. Пространство-время стационарной черной дыры (иллюстрация к выводу массовой формулы)
границы черной дыры Э53и двумерной поверхности Э S00 на пространственной бесконечности (рис. 83).
Покажем, что массаМ°° черной дыры, измеренная удаленным наблюдателем в асимптотически плоской области по ее воздействию на пробные частицы, дается следующим выражением:
47- / tu\Ud%v (11-2.34)
ЛГ
Э?
Для этого предположим, что вдали от черной дыры покоится пробное тело, Тогда 4-ускорение этого тела равно
=
(11.2.35)
_fca і *(0 ч0<*
Пусть 2 — пространственно подобная поверхность, ортогональная в асимптотической области вектору мм = Sm /1 SaS** 11/2 4-скорости тела. В этой области гравитационное поле является слабым и легко устанавливается связь его инвариантных 4-мерных характеристик с ньютоновским описанием. В частности, вектор а м ^. v , лежащий в !,имеет три
существенные компоненты. В ньютоновской теории этот трехмерный вектор характеризует напряженность гравитационного поля и связан с потенциалом ф соотношением а і = <р (.По теореме Гаусса, поток этого вектора через любую замкнутую двумерную поверхность 9 2^ (лежащую в 2), охватывающую тяготеющее тело, равен 4тгЛГ°, где М°° — масса тела. Пусть им — единичный вектор внешней нормали к 9 2^ , лежащий в 2. Тогда
м~ = -4- f Sfo" HmUiiC/2 а. (11.2.36)
где d2a — элемент площади 92^ . Используя свойство (11.2,31), можно выражение п ttuud2a заменить на do = «|м Uu^d2 а\ при этом соотношение (11.2.36) приводится к вицу (11.2.34).
Аналогичным образом можно показать, что полный угловой момент J °° системы, измеренный удаленным наблюдателем (например, по эффекту увлечения Пенсе -Тирринга), дается следующим выражением * ) :
(11.2.37)
1
у~ --7ПГ . '
HZ
*) В справедливости формул (11.2.34) и (11.2.37) для массы Mи углового момен-
та J можно убедиться непосредственной проверкой, если учесть, что вдали ОГ тяго-
17*
259
ц
Используя соотношение (11.2.33) и аналогичное соотношение для , можно с учетом (11.2.34) и (11.2.37) получить
ЛГ = -J (2 7? - 0,D?(f)daM +Л/Я’ (11.2.38)
?
= /^(V0M +УЯ’ (11.2.39)
где интегралы в правых частях описывают вклад вещества и полей вне черной дыры в полные массу М°° и угловой момент J °° системы, а
МН =47 (11-2-4°)
9.J/J
И
jH *"87 (11.2.11)
did
— вклады в Л/“ и J °° массы и углового момента самой черной дыры *). Выражение для Mh можно преобразовать следующим образом. Выразим с помощью (11.2.9) через т?м и . Тогда имеем
J % (^dofiv= 8л JhHh + Jlli^doliv, (11.2.42)
Эл?
где /М = Т?М I Если векторы шм и шм введенной выше комплексной
световой тетрады лежат в плоскости, касательной к Э®, то do = = /| где сМ — элемент площади двумерной поверхности 3 cJj.
Используя определение (11.2.11) поверхностной гравитации к и ее постоянство, интеграл в правой части (11.2.42) можно записать в виде J I MS " d о = к А, где A= JdA- полная площадь поверхности черной
ЬШ ЬіВ
дыры. Используя это равенство и подставляя (11.2.42) в (11.2.38), получаем массовую формулу (11.2.30).
тсющего вращающегося тела метрика может быть записана в следующем виде: ds2 = —|l --^+ (Kr'* )^dt2 — б + 0(г'2 )|б/Гб/^ +
+ (I + 0(r-1 ))\dr2 +r2(de2 + sin2б dip2)].
*) Подчеркнем, что используемое нами значение (П.28) для элемента поверхности do согласуется с принятым в работах Бардина. Картера, Хокинга (1973) и Картера (1973а) и вдвое меньше принятого в работах Картера (1979) и Дамура (1982), Отметим также, что ориентация daна поверхностях Э Ioo и Ь3~1 выбрана таким образом, что
/ ^dauv = / ^dauv - ! ^dau
260
Напомним, что в этой формуле Tv — полный тензор энергии-импульса вещества и полей вне черной дыры. При наличии электромагнитного поля
он складывается из двух частей: Г - тензора энергии-импульса вещества и Tvem — тензора энергии-импульса электромагнитного поля. Используя выражение (П.48) для Tvem^tt , формулу (11.2.30) можно преобразовать к следующему виду [Картер (1973а, 1979) ]:
М°° =-Г (2Г(ш)м - Г(т)“бм)?;Ас/а +Mh +М(е'п) , (11.2.43)
jkV ос V7 (О м ext
где M^ ^ — вклад в полную массу, связанный с наличием вне черной
дыры тока / м:
ywS0 = AJti+JvAy^doii, (11.2.44)
Л/я — масса черной дыры с учетом энергии ее электромагнитного поля:
Mh = 2?lHJH + Фя0 + (11.2.45)
оЭТ
Здесь
P1 = Jh + J(em)H , (11.2.46)
j(em)H _ J_ j л (11.2.47)
4її J 4W a jik’ 4 '
ъзз
a Q = / Filvdo^iv - электрический заряд черной дыры.
