Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
На горизонте событий это векторное поле касательно к образующим горизонта HVV =0*). Иными словами, постоянство (-1н означает, что горизонт событий совпадает с горизонтом Киллинга. Последний определяется как световая поверхность, световые касательные векторы к которой совпадают (при соответствующей нормировке) с векторами некоторого фиксированного поля Киллинга.
Перейдем теперь к доказательствву постоянства поверхностной гравитации к . Эта величина уже встречалась нам неоднократно, в частности, при рассмотрении различных свойств керровской черной дыры. Дадим теперь общее определение этой величины, пригодное для произвольной стационарной (не обязательно уединенной) черной дыры.
Поскольку величина т? • т? (равная нулю) постоянна на поверхности горизонта событий, TO вектор (т? • Tl) . „ нормален к этой поверхности. В силу светового характера последней имеем
где к — инвариантная функция на поверхности черной дыры, называемая поверхностной гравитацией. Так как X (г) и ?(^) касательны к горизонту и V = V- 0, то, применяя операторы Xj ^ и ^ к обеим
частям (11.2.10), можно убедиться, что =?М(^> к,м = 0- Это
свойство — простое отражение свойств симметрии, присущей пространству-времени. Гораздо менее тривиальным является независимость к от ’’широты” точки на поверхности черной дыры.
Для доказательства постоянства к на всем горизонте событий, следуя работе Бардина и др. (1973), удобно использовать тетрадный формализм. С ЭТОЙ целью ДОПОЛНИМ /М = Т?М I н* до комплексной световой тетрады, выбрав комплексные световые векторы , Thtt касательными к поверхности горизонта и нормированными соотношением HitiThfl = 1 и действительный световой вектор им, ортогональный и m м и нормированный условием IttItfl = -1. С помощью введенной комплексной световой тетрады к можно записать в следующем виде:
Действительно, если, используя VfI; V = -Vv ; M, переписать (11.2.10) в виде
nv получаем (11.2.11).
*) Существование векторного поля Киллинга (11.2.9), обладающего этим свойством, является следствием теоремы Хокинга (§ 6.2), из которой также вытекает,
(11.2.9)
(т? -VYv = Iktiv ,
(11.2.10)
к = -lv;fl nv /м.
(11.2.11)
что SI = const.
254
С помощью (11.2.11) получим
так.а--Iv-Ha HvIttIna-Iv-U nv-oc I^ma -Iv-^nv 1^-ата. (11.2.13)
Поскольку первый из членов в правой части зависит лишь от значения /м на H, то можно использовать совпадение на этой поверхности /м с векторным полем Киллинга т?м. В частности, с помощью соотношения (П. 15) ДЛЯ векторного ПОЛЯ Киллинга Т?„. = R pay. приведем первый член
в правой части (11.2.13) квиду-Ла py6lamfin п6. Используя (11.2.12) и соотношение IvItvi а =—nvlv.t а, второй член в правой части (11.2.13) запишем в виде Klv- а nvта. Покажем теперь, что этот член сокращается с последним членом в правой части (11.2.13). С этой целью заметим, что условия нормировки нулевой тетрады приводят к соотношению
0 = - Ii^ltt — I^ Iitt + щР т ** + т P Witt. (11.2.14)
Используя это соотношение, а также условия отсутствия сдвига и расширения поверхности горизонта событий
P = -0 = О, о = -la;p та mfi = 0, (11.2.15)
перепишем последний член в правой части (11.2.13) в виде
-Iv-H IIvItl -Oinct = -Iv-H И Vif3V1C* та =
= Iv.н HvItl nfiIpia та = - Klv.artvma. (11.2.16)
Это выражение лишь знаком отличается от второго члена и сокращается с ним. В итоге имеем
так.а =-RafSyS IaIfifiHn6 . (11.2.17)
Заметим теперь, что на поверхности горизонта
Ia-,рта-^mfiIny = la-pmamfi-^y ту = 0. (11.2.18)
В этом можно убедиться с помощью (11.2.14), (11.2.15) и условий нормировки векторов тетрады. Поэтому с учетом (П. 15) и (11.2.15) имеем
0=—р.уту = (I Octfma mfi)-nmy=Rfapylfma mfimy =
= -Raplamfi +Rapyblamfilyn6 . (11.2.19)
Используя это соотношение и уравнения Эйнштейна Raplamfi = = SnTaf3IaInfi , перепишем (11.2.17) в виде
так-а = -8 TTTaplamfi. (11.2.20)
Для завершения доказательства постоянства к мы предположим, что тензор энергии-импульса Тар удовлетворяет условию энергодоминантности (см. Приложение), т.е. для светоподобного вектора Ia Tapla является непространственноподобным вектором. При выполнении этого условия вектор Тар1а на горизонте событий обязан быть светоподобным [случай времениподобного вектора исключается, поскольку на горизонте Taplalfi = Ф = 0; см. (6.2.2)]. Поэтому Taplamfi = 0 и соотношение
(11.2.20) доказывает, что к постоянна на горизонте.
255
Интегральные кривые Xм = Xм (и) векторного ПОЛЯ )?М (dx ^fdv =т?м) на горизонте событий совпадают с его образующими и поэтому являются геодезическими. В этом можно также непосредственно убедиться с помощью соотношения (11.2.12). Поскольку правая часть этого уравнения не обращается в нуль, то киллинговский параметр v не совпадает с аффинным параметром X вдоль световых геодезических, описываемых этим уравнением. Связь и и X имеет вид X = aeKV + b, где а и b — произвольные числа, отвечающие произволу в выборе афинного параметра X.
Остановимся теперь на физической интерпретации к. Рассмотрим стационарного наблюдателя, движущегося вблизи черной дыры, для которого мировая линия совпадает с интегральной кривой поля Киллинга т?м . Вектор 4-скорости такого наблюдателя
