Физика черных дыр - Новиков И.Д.
Скачать (прямая ссылка):
Как и термодинамическая система, произвольная черная дыра после релаксационных процессов приходит в равновесное (стационарное) состояние, в котором она полностью описывается заданием малого числа параметров: М, J, Q. Площадь поверхности А стационарной черной дыры яв-
251
ляется функцией этих параметров:
А - 4п(2М2 ~ Q2 + 2М\!M2 - Q2 -J2jM2). (11.1.1)
Это соотношение можно обратить и найти выражение для внутренней энергии черной дыры
тг [(Q2 + Aj4ir)2 +4J2] 11/2
M = --------—----------J . (11.1.2)
Для двух стационарных черных дыр со слегка отличными значениями площади ЬА, углового момента 8 J и электрического заряда 8 Q внутренняя энергия отличается на величину
5 M= — 8А +?2H8J + ФН5С, (11.1.3)
8jt _________
где к =4?TyjM2 -Q2 -J2IM2IA - поверхностная гравитация, S2H = = 4irJ/MA — угловая скорость и Фн = 4пQr+/А — электрический потенциал черной дыры. Второй и третий члены этой формулы описывают изменение энергии вращения и электрической энергии.
Это соотношение аналогично первому закону термодинамики; при этом в качестве аналога температуры (величины, сопряженной энтропии) выступает величина, пропорциональная поверхностной гравитации к . Результат Хокинга о тепловом характере излучения стационарной черной дыры не только подтверждает указанную аналогию, но и позволяет найти коэффициент, связывающий температуру 9 и поверхностную гравитацию к :
в=Ьк/2-ck. (11.1.4)
При этом соотношение (11.1.3) в точности совпадает с первым законом те рмо динамики
8Е = в 8SH +?lH 8J + <t>H8Q, (11.1.5)
если для энтропии черной дыры принять выражение
SH=Al4l2n, Zp1 = hG/c3. (11.1.6)
Приведенные соображения дают все основания отнестись серьезно к упомянутой аналогии между физикой черных дыр и термодинамикой. Основные законы физики черных дыр, играющие роль, аналогичную законам термодинамики, мы рассмотрим в § 11.3 после обсуждения общих свойств поверхностной гравитации к и вывода так называемых массовых формул, обобщающих соотношения (11.1.2) и (11.1.3) на случай произвольных стационарных черных дыр, окруженных стационарным распределением вещества и полей.
§ 11.2. Поверхностная гравитация. Массовая формула
Согласно теоремам единственности (§ § 6.3, 6.4) уединенная стационарная черная дыра в общем случае является керр-ньюменовской. Для такой черной дыры значения угловой скорости Пн, поверхностной гравитации к и электрического потенциала Фи постоянны на горизонте событий. Свойст во постоянства этих величин сохраняется и в,том случае, если черная дыр? окружена веществом, при условии, что геометрия пространства-времет
252
остается стационарной и аксиально-симметричной или статической. Поскольку это свойство существенно для развития термодинамической аналогии в физике черных дыр, остановимся на нем подробнее.
Пусть ?М(,)ЭМ = Э, и — векторные поля Киллинга, отве-
чающие сдвигу по времени и вращению. Определим бивектор рм „:
Pnv = 2?(,)|М %(v)v) • (11.2.1)
Тогда, как показал Картер (1973а), при выполнении условия циркулярное™ (см. § 6.4) горизонт событий произвольной стационарной аксиально-симметричной черной дыры совпадает с множеством точек, где бивектор Pm v становится светоподобным (рм „ рм v = 0); при этом касательные векторы /м к горизонту событий совпадают по направлению со световым вектором, лежащим в двумерной световой площадке, растягиваемой векторами ? (,) и ?(?). Выбирая нормировку /м соответствующим образом, имеем
Zjj=Sfo + П(11-2.2)
Из свойств симметрии пространства-времени следует, что угловая скорость черной дыры П11 не может зависеть ни от времени I, ни от угла у:
Sfo nV0- (п-2-3>
Нетривиальным моментом является то, что Hh не зависит также и от ’’широты” точки на поверхности черной дыры, т.е. постоянна на всей этой поверхности. Для доказательства этого свойства введем обозначения
Jf = W,-W)- ^=^(,)-^(,). (11-2.4)
Поскольку ? (^) (как и ? (Г\) лежит в плоскости, касательной к горизонту событий, то % (^) I = 0, и из (11.2.2) имеем
Xil4 = -W. (11.2.5)
Если продифференцировать это соотношение пох“и использовать свойство коммутативности [?<,),?(^)] =0, то нетрудно получить следующее равенство:
**П"=2 (^W- (11.2.6)
Умножим теперь обе части этого равенства на руЬ и проведем антисимметризацию по индексам а, у и §. Если учесть соотношение
?(^)а;| 0 Pyb ] - ?(<р)а ?(<р)10;у %(r)b | — %(t)a '%($)[ 0:у %(<f )* I > (11-2.7)
вытекающее из условия циркулярное™ (6.4.4), и обращение в нуль на горизонте инварианта W2 + XV = — 2рарра®, то можно убедиться, что правая часть полученного выражения равна нулю, и мы имеем
-^7,^761= °- (1 !-2-8)
Вне оси симметрии (X Ф 0) это условие означает, что ?2/Уа лежит в двумерной плоскости, растягиваемой векторами ?(f) и ?(^), а соотношение
(11.2.3) показывает, что =0. Тем самым доказано свойство постоянства Hh на горизонте событий. (В полюсных точках 0.и определяется по непрерывности.)
253
Свойство постоянства угловой скорости черной дыры ?1Н можно сфор-
мулировать несколько иным способом. Введем векторное поле Киллинга г?: