Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
? hi IX? |2 = [порядок группы]. (2)
В случае рассматриваемых ниже групп Gk/Tk9 Gk\ТЧ отыскание решений уравнений (1) значительно упрощается, если заметить с самого начала, что когда d есть представление с волновым вектором ft, то многие из характеров обращаются в нуль, а другие оказываются пропорциональными друг другу. Действительно, пусть CtCi = Cjy где Ct — класс, совпадающий со смежным классом {z\t}Tk9 а представление d имеет волновой вектор ft. Тогда tj = e~ikt'%f. Далее, если і = /, то характер должен обращаться в нуль, если только класс Ct не есть еди-
ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ
287
ничнып элемент. В ряде случаев не было необходимости решать систему уравнений (1), ибо группа Gk/Tk или Gk ІТк оказалась абелевой или была прямым произведением точечной группы на абелеву.
Пространственная группа Z)6*
(гексагональная структура с плотной упаковкой)
В данном случае группа трансляций порождается двумя основными векторами t2 и J3 и третьим основным вектором t\. Первые два имеют одинаковую длину; угол между ними составляет 120°. Длина последнего произвольна; он перпендикулярен к плоскости векторов I2 и f3. На рис. 1 изображено расположение атомов в простейших кристаллах этого типа *). Векторы t2 и U лежат в плоскости чертежа. Черными кружками показаны положения атомов- в плоскости чертежа, белые кружки отвечают проекциям
положений атомов, лежащих в па- Ш *г • >
раллельных плоскостях на расстояниях tJ2 выше или ниже плоскости чертежа. Ниже перечислены элементы точечной группы, сгруппированные по классам:
о6, O6 — вращения на ±60 вокруг оси, параллельной вектору t{.
Положительное направление O6 соответствует повороту против часовой стрелки в плоскости рис. 1. Иначе говоря, при знаке « + » любая точка х переходит в точку х' = 66*, расположенную на 60° против часовой стрелки от х;
Ьз = bit *з~ ;
&2 = &е;
b2i (/ = 2, 3, 4)—вращения на 180° вокруг осей, параллельных векторам t2y U и *4 = —(h + *з);
Ь"і (1 = 2, 3, 4) —вращения на 180° вокруг осей, перпендикулярных к вектору t\ и перпендикулярных, соответственно, к векторам f2, h И *4І
*) В терминах элементов пространственной группы эти положения можно охарактеризовать как точки пересечения оси третьего порядка, которая не является одновременно винтовой осью шестого порядка, с перпендикулярной к чей плоскостью симметрии.
288
К. ХЕРРИНГ
і — инверсия;
«з=*6б> 0з-';
р = ib2;
р;=і% (/=2,
з,
4);
Pf-^ с-2,
з,
4).
В использованных ниже обозначениях элементов пространственной группы считается, что начало координат совмещено
с центральным черным кружком на рис. 1.
Первая зона Бриллюэна для такого кристалла представляет собой гексагональную призму, изображенную на рис. 2. Вид этой призмы сверху показан также пунктиром на рис. 1, дабы указать ее ориентацию относительно расположений атомов; масштаб этого пунктирного шестиугольника по отношению к остальной части рис. 1, конечно, произволен. Точки, обозначенные через Г, Л, M9 K9 L и H9 представляют собой точки симметрии всех возможных в данном случае типов. В табл. I—III для каждой из этих точек к приведены характеры всех представлений группы Gk/Tk, имеющих волновой вектор к. Символами P9 Д, 2, /?, 5, TuU обозначены произвольные точки на линиях симметрии. Характеры всех представлений группы Gk'/Tk9 имеющих волновой вектор к9 для каждой из этих точек и для каждой из указанных выше точек симметрии приведены в табл. IV—IX.
В первом столбце каждой таблицы указано число элементов, а во втором приводятся сами элементы каждого класса группы GkITk для точки, стоящей первой в таблице. Простоты ради, элементы этих фактор-групп обозначены так же, как и элементы пространственной группы, т. е. каждый смежный класс характеризуется каким-либо одним из его элементов. Группа GhITh точки или точек, стоящих в таблице справа, получается из фактор-группы первой точки путем замены одной или более из трансляций тождественным элементом. При перечислении классов используется компактная форма записи; в табл. I, например, символ {бб, o^*11 т, т + fi} обозначает четыре элемента
ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ 289
Таблица I
48
A1
Лз
T2*
г3*
г?
16
1
{* 10}
2
2
4
1
1
і
1
2
2
1
-2
-2
-4
4
0
0
0
1
1
-1
-1
-1
1
2
2
2
-2
1
1
1
1
-1
-1
2
-2
-2
2
2
{O2 I т, T+*,}
0
0
0
1
1
-1
-1
2
-2
6
0
0
0
1
-1
1
-1
0
0
6
0
0
0
1
-1
-1
1
0
0
2
Pit, т + М
0
0
0
± 1
± 1
± I
± 1
±2
±2
4
0
0
0
± 1
± 1
+1
+1
+ 1
±1
4
0
0
0
± 1
± 1
± 1
± 1
+ 1
=?1
2
{р|о, *,)
0
0
0
± 1
± 1
+1
+1
±2
+2
3
2
-2
0
± 1
Ir1
± 1
ч11
0
0
3
КІМ
-2
2
0
6
0
0
0
±1
+ 1
+ 1
±1
0
0
Через т обозначен вектор, идущий от атома в начале координат к какому-либо из его ближайших соседей в плоскости, проходящей выше или ниже плоскости чертежа на рис. 1. Проекция этого вектора на плоскость рис. 1 идет, следовательно, из начала координат к одному из светлых кружков.
