Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим одно такое представление. Если среди элементов группы трансляций встретится такой, Ж ={е|/}, что произведение k*t кратно 2я, то для любого преобразования Sl из группы Gh элемент ?81 будет представляться той же матрицей, что и Si. При вычислении характеров таких представлений группы волнового вектора Gh мы, следовательно, можем поступать так, как если бы преобразование Ж было тождественным. Иначе говоря, нужно вычислить только характеры соответствующих представлений фактор-группы Gk/Th, где Г* есть группа всех трансляций Ж, для которых произведение k-t крат-но 2я.
При й = 0 группа Tk совпадает со всей группой трансляций, и фактор-группа Gk/Tk есть точечная группа пространственной группы. Поскольку характеры всех кристаллографических точечных групп известны ***), нет необходимости рассматривать здесь представления с нулевым волновым вектором. Когда к есть век-
*) Это —так называемые «приведенные волновые векторы». Ср. [1], стр. 62, и [4], стр. 65. (Страницы [4] указаны по русскому переводу. — Прим. ред.)
**) Группа Gk содержит все преобразования {а|а}, удовлетворяющие следующему условию: элемент точечной группы а либо оставляет вектор k неизменным, либо преобразует его в эквивалентный.
***) Характеры для наиболее важных точечных групп найдены Бете [5], Вигнер вычислил характеры для всех точечных групп [6].
ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ
285
тор «общего типа», оканчивающийся внутри зоны Бриллюэна, группа Gk состоит из одной лишь группы трансляций, и ее представление строится тривиальным образом. Когда вектор ft лежит внутри зоны Бриллюэна, но параллелен оси симметрии или лежит в плоскости симметрии, группа Gh содержит еще преобразование поворота вокруг оси или отражение в плоскости (иногда и то, и другое). Для таких векторов ft искомые характеры нетрудно получить, воспользовавшись тем фактом, что при 0 < к «< 1 группа GXk совпадает с Gk.
Действительно, рассмотрим какой-нибудь элемент Sf = {a|a} группы GA. Пусть т есть целое число, такое, что ат = е. Тогда в любом представлении с волновым вектором к трансляции 8гп = {8|*} будет отвечать комплексное число е~**'*9 умноженное на единичную матрицу. Следовательно, собственные значения Si, фигурирующие в этом представлении, содержатся среди т различных корней уравнения e~ike=l. Какие именно — можно определить, рассматривая последовательность волновых векторов кк при А,—>O; очевидно, при X-*0 собственные значения всех преобразований Sl должны стремиться к собственным значениям соответствующих операторов а, входящих в представление точечной группы для группы Gh. Таким образом, построение таблиц характеров может оказаться нетривиальным только для тех волновых векторов ft, которые оканчиваются на границе зоны Бриллюэна.
Ниже приведены таблицы характеров для фактор-групп Gh/Tk для всех «точек симметрии» на границе зоны Бриллюэна. Термин «точка симметрии» (в ft-пространстве) обозначает волновой вектор ft, чья группа Gk содержит больше элементов, чем группа волнового вектора Gk для любого другого вектора ft', близкого к ft. Далее, введем представление о «линиях симметрии», лежащих на гранях зоны Бриллюэна. Дабы облегчить вычисление характеров для волновых векторов ft', оканчивающихся на этих линиях, мы приводим также таблицы характеров представлений групп Gk'/Th (с волновым вектором ft) для каждой точки симметрии ft, находящейся на рассматриваемой линии. По определению, «линия симметрии» обладает тем свойством, что все волновые векторы ft', оканчивающиеся на ней (за исключением некоторых изолированных точек ft более высокой симметрии), имеют одну и ту же группу Gk\ последняя содержит больше элементов, чем группы Gk любых векторов ft", лежащих вблизи рассматриваемой линии, но не на ней. Эти таблицы дают, таким образом, предельные значения, к которым стремятся характеры групп Gh' при к' -> ft. По этим предельным значениям нетрудно найти и характеры для любой точки ft' на
286
К. ХЕРРИНГ
линии — надо лишь воспользоваться теми же соображениями, которые были намечены выше применительно к линиям симметрии внутри зоны Бриллюэна. Наконец, группы Gh для точек на границе зоны Бриллюэна, не лежащих на линиях симметрии, могут содержать, помимо группы трансляций, самое большее еще отражение или скольжение. Таким образом, здесь может быть не более двух неприводимых представлений с заданным волновым вектором. Последние, поскольку они одномерны, можно просто угадать.
Дадим теперь краткое описание методов, использованных при построении таблиц характеров для групп Gh/Tk. Посколы<> во всех рассматриваемых случаях ft есть точка симметрии, все группы Gk/Th или Gk'/Tk оказываются конечного порядка. Известно [7], однако, что характеры любой конечной группы можно вычислить алгебраически, зная коэффициенты с і Ji9 показывающие, сколько раз каждый класс Ci встречается в произведении классов Ci и Cj\
cfii = 2 CijiC і.
i
Если hi есть число элементов в классе C1-, то характеры определяются из следующей системы уравнений [7, 8]:
Здесь индекс і нумерует классы. Любое решение этой системы уравнений выражает характеры различных классов у* в некотором представлении d через характер единичного элемента Е. Этот характер %| равен просто размерности представления d. Последнюю можно определить из условия [8]
