Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
/ полуцелое: Dy2 = T5; А/г = 2Г6 + T7; D5/J = T5 + T6 + T7;
Dy = Dy_3 + 2r5 + 2r6 + T7 (/-1, |,...).
В обоих рассмотренных примерах соотношение (II) оказалось ненужным. Однако его пришлось бы использовать при вычислении характеров некоторых других двойных групп, например группы октаэдра.
Литература
1. H A Be the, Ann. Physik (5) 3, 133 (1929).
2. Б. Л. Ван-дер-Варден, Метод теории групп в квантовой механике, Харьков, 1938.
3. А. Speiser, Theorie der Gruppen von Endlicher Ordnung, 2nd ed., Berlin, 1927.
4. G. A. Miller, H F B 1 і с h f e 1 d t, L E. D і с k s о n, Theory and Applications of Finite Groups, N. — Y., London, 1916.
10
К. ХЕРРИНГ
ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ ДЛЯ ДВУХ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП
(J. Franklin Inst. 233, 525, 1942)
В некоторых задачах физики кристаллов полезно знать неприводимые представления рассматриваемой пространственной группы*). Построение таблиц характеров для этих неприводимых представлений сравнительно несложно в случае пространственных групп, для которых каждая точка решетки обладает полной симметрией точечной группы**): метод проиллюстрирован в работе [1], где приведены таблицы характеров для пространственных групп Dhy Dl и Dh (простая кубическая, кубическая объемноцентрированная и кубическая гранецентрированная решетки). В случае пространственных групп, для которых ни одна из точек пространства не обладает симметрией точечной группы, построение таблиц характеров более трудоемко. Поэтому публикация названных таблиц для таких групп может оказаться полезной. В настоящей работе приведены таблицы для двух наиболее важных пространственных групп этого типа, а именно для D^ (гексагональная решетка с плотной упаковкой) и для D\ (структура типа алмаза).
Обозначения и общая теория
Для обозначения различных частных преобразований пространственной группы мы используем следующую форму записи, введенную Зейтцем [2, 3]. Обозначим через х{ (і = 1, 2, 3) координаты точки в некоторой прямоугольной системе координат.
*) Роль неприводимых представлений пространственных групп в электронной теории металлов была исследована в работе [I]. Аналогично обстоит дело и в теории нормальных колебаний кристаллической решетки
**) Общая теория неприводимых представлений пространственных групп развита в работе [2].
ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ
283
Преобразование (элемент пространственной группы), переводящее произвольную точку Xi в
*; = 2в//*/ + я,»
обозначим символом {аja}, или, иначе, просто через St Здесь буква а заменяет квадратную матрицу ||аг-7Ц и описывает, таким образом, жесткое собственное или несобственное вращение вокруг начала координат. Аналогично а есть матрица с одним столбцом (вектор), определяющая жесткую трансляцию.
Если (? = 3133 есть произведение двух таких преобразований, то мы имеем
{Vk} = {a|a}{?|« = {o?|o6 + a},
где произведения a? и ab следует понимать согласно обычным правилам умножения матриц. Таким образом, вектор с получается вращением вектора Ь с последующим сдвигом на а:
Ci = 2 uifbj + Ci1. і
Элементы группы трансляций имеют вид {г\і}, где г есть единичная матрица, а t — вектор вида ti\t\ + п2*2 + Яз*з. причем пи П2, Пг — целые числа, а tu t2 и — три основных вектора решетки.
Для того чтобы объяснить смысл таблиц и методы, использованные для их построения, необходимо сначала напомнить некоторые положения, установленные Зейтцем [2]. Любое неприводимое представление пространственной группы можно выразить в базисе, приводящем (абелеву) группу трансляций. Иными словами, мы можем выбрать базис так, чтобы матрицы, представляющие все элементы группы трансляций, были диагональными. В любом неприводимом представлении группы трансляций каждая трансляция {в\і} изображается комплексным числом e~ik'*y где вектор к не зависит от t и может быть назван «волновым вектором» представления.
Волновой вектор данного представления определяется только с точностью до слагаемого — вектора К, скалярное произведение которого на произвольный вектор t кратно 2л. Очевидно, К есть не что иное, как произвольный вектор обратной решетки. Мы будем поэтому называть два волновых вектора «эквивалентными», если они отличаются на вектор обратной решетки, умноженный на 2я; достаточно будет ограничиться рассмотрением только тех волновых векторов, длины которых не
284
К. ХЕРРИНГ
превосходят длин любых других векторов, им эквивалентных*). Точки окончания этих волновых векторов лежат внутри и на поверхности многогранника, называемого первой зоной Бриллюэна (см. [4], стр. 64); грани этого многогранника делят пополам упомянутые выше векторы JC.
Пусть \|)/г есть элемент представляющего пространства с волновым вектором к. Совокупность всех преобразований пространственной группы, переводящих любую такую величину tyh в элемент с тем же волновым вектором к (или эквивалентным ему), образует подгруппу пространственной группы. Ее называют группой Gk волнового вектора й**). Пусть ок есть подпространство пространства представления, состоящее из элементов с волновым вектором к и преобразуемое неприводимым образом элементами группы Gk. Можно показать, что ок и все другие подпространства, в которые его переводят преобразования полной пространственной группы, составляют в совокупности подпространство, неприводимое относительно преобразований полной группы. Следовательно, задача о приведении пространственной группы эквивалентна следующей: для каждого волнового вектора к надо найти все неприводимые представления группы Ghy имеющие тот же волновой вектор.
