Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
О КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ «ДВОЙНЫХ* ГРУППАХ
275
Пли иначе:
26) Для того чтобы только один класс группы G+ соответствовал классу C1 группы G, необходимо и достаточно, чтобы в число элементов группы G входило вращение на 180° вокруг оси, перпендикулярной к одной из осей вращений, образующих рассматриваемый класс Cn.
Следует заметить, однако, что в кристаллографической группе, содержащей два вращения на 180° вокруг взаимно перпендикулярных осей, одна из них всегда будет перпендикулярна к оси любого другого вращения Ол, принадлежащего данной группе. Таким образом:
3) По два класса группы G+ отвечают либо всем классам C1 группы G1 либо ни одному.
Из утверждений (2) и (3) немедленно вытекает, что для групп тетраэдра, октаэдра и вообще /г-эдра (при четном п) классу C1 отвечает всегда один класс соответствующей двойной группы. С другой стороны, для каждого класса Сл группы /г-эдра (при нечетном п) имеются два соответствующих класса двойной группы.
Доказательство утверждений (2а), (26) основывается на следующем замечании. Пусть А есть элемент группы G+, соответствующий вращению на 180°, и пусть В (если такой элемент существует!) есть произвольный элемент G+, для которого АВ = В(—А). Последнее уравнение легко решить, если элементы А и —А принадлежат одному и тому же классу. Допустим (это всегда можно сделать без потери общности), что А имеет вид
т. е. элемент В будет отвечать вращению на угол я относительно оси, перпендикулярной к оси вращения, соответствующего элементу А *).
Далее можно отметить следующее.
4) Если некоторый класс группы G (отличный от C1) совпадает с обратным ему, то каждый из двух классов, соответствующих ему в группе G+, также обладает этим свойством.
*) Матрица [ Л в U2 соответствует (с точностью до знака) вра-
VP 0.1
щеншо, характеризуемому эйлеровыми углами 6, (р, Здесь
Тогда для В непременно получится
а
. 0
sin 7j-
(CM., например, [2], § 16).
18*
276
В. ОПЕХОВСКИЙ
Можно вывести также следующие совершенно общие свойства неприводимых представлений группы G+:
5) Каждое неприводимое представление G является также неприводимым представлением G+.
Действительно, пусть S есть произвольная группа, a T — инвариантная подгруппа группы 5. Тогда каждое неприводимое представление фактор-группы S/T будет также неприводимым представлением S. Далее, фактор-группа G+/H, где H есть инвариантная подгруппа G+, состоящая из элементов EwR, изоморфна группе G. Отсюда вытекает теорема (5).
Чтобы упростить терминологию, назовем каждое представление группы G+, не являющееся однозначным представлением группы G, «особым представлением» G+. Ясно, что каждое особое неприводимое представление G+ есть двузначное неприводимое представление G.
6) Если группа G+ не абелева, то определяющие ее унитарные матрицы группы U2 образуют одно из ее особых представлений. Характеры этого представления равны ±2 cos со, где 2со — угол вращения при преобразовании, соответствующем элементу группы G. (Это очевидно.)
7) Для того чтобы неприводимое представление группы G+ было особым, необходимо и достаточно, чтобы любой отличный от нуля характер произвольного элемента А группы G+ был равен по величине и противоположен по знаку характеру элемента А' = AR.
Достаточность этого условия очевидна. Но оно также и необходимо. Действительно, так как элемент R коммутирует со всеми элементами G+, матрица, соответствующая R в произвольном неприводимом представлении, должна (с точностью до множителя ц) совпадать с единичной. Поскольку А~ = AR, мы имеем %(А~) = т)х(Л). Далее, ту2 = 1, ибо порядок R равен 2. При т] = 1 элементам AwA' соответствует одна и та же матрица в рассматриваемом представлении G+. В таком случае последнее является также представлением группы G, или, иначе говоря, оно не есть особое представление группы G+. Следовательно, для особого представления мы имеем ц = —1.
Отсюда вытекают следующие теоремы относительно особых неприводимых представлений.
7а) Если характеры элементов, входящих в классы С' й С", отличны от нуля, то они равны по величине и противоположны по знаку (х' = —X )•
76) Пусть классу Cn группы G соответствует единственный класс группы G+. Тогда характеры элементов последнего во всех особых неприводимых представлениях равны нулю.
О КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ «ДВОЙНЫХ» ГРУППАХ
277
7в) Пусть классу Cn группы G соответствуют два класса
Cn и Cn группы G+. Тогда либо х' = х" = °> либ° х' = — х" = Вторая возможность заведомо осуществляется, если рассматриваемое представление одномерно. Действительно, порядок элементов в классах Cn и Cn равен 4, и, следовательно, %'4 = %"4 = = 1. [Чтобы вывести утверждение (7в) как следствие (7), необходимо учесть то обстоятельство, что характеры взаимно обратных элементов произвольной конечной группы всегда являются комплексно сопряженными числами.]
Заметим теперь, что при полуцелом J отличные от нуля характеры матриц представления Dj9 соответствующих элементам Л и Л", одинаковы по абсолютной величине и противоположны по знаку. В сочетании с утверждением (7) отсюда вытекает следующая теорема:
