Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
**) Каждому значению размерности, (2/ + 1), отвечает в точности одно представление. Как обычно, будем обозначать его через Dj. Таким образом, D42 = U2, D1 « Я3.
***) См. предыдущее примечание,
О КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ «ДВОЙНЫХ» ГРУППАХ
273
ное представление /?з> имеется 2п матриц U21 которые вполне определенным способом соответствуют п матрицам /?з, образующим подгруппу G Очевидно, совокупность этих 2п матриц представляет собой подгруппу группы U2\ обозначим ее через G+. Это замечание приводит к строгому определению введенного Бете термина «двойная группа»:
«Двойная группа» G+ группы G порядка /г, представляющей собой подгруппу /?3, есть абстрактная группа порядка 2п\ она подчиняется той же «таблице умножения», что и 2п матриц U2, отвечающих элементам группы G в силу двузначности представления *).
Естественно, это соответствие остается вполне определенным и в случае подгруппы группы /?3, для которой п бесконечно; в этом смысле U2 есть «двойная группа» группы /?3. Можно также определить «двойную группу», используя произвольное представление Dj (с полуцелым /), а не обязательно, как мы это сделали, с помощью представления D«/2 = U2. Все группы, образованные матрицами Dj1 при полуцелом / изоморфны, т. е. все они соответствуют одной и той же абстрактной группе. Мы видим, таким образом, что понятие «двойной группы» оказывается чрезвычайно простым и не содержащим никаких неоднозначностей. Ясно, чем оно полезно: каждое неприводимое представление (однозначное или двузначное) группы Rz есть одновременно и представление (однозначное или двузначное) группы G, но, рассматриваемое в последнем смысле, оно, вообще говоря, приводимо. Следовательно, оно является и представлением (всегда однозначным) группы G+, в общем случае приводимым. Таким образом, наша задача сводится просто к приведению однозначного представления конечной группы G+ (подгруппы U2). Для этой цели надо знать лишь характеры всех неприводимых представлений G+. Перед нами теперь стоит вопрос об установлении структурного соответствия между группами G+ и G.
Как мы знаем, элементы группы U21 соответствующие одному классу Rz (включающему все повороты на один и тот же угол
*) Двойную группу можно задать также с помощью соотношений, эквивалентных «таблице умножения». Например, группа л-эдра определяется соотношениями (см. [3], стр. 27)
Лп = Е, В2 = Е, BA = A-W, (*)
а ее двойная группа задается, как легко проверить, соотношениями
Лп = R, ?2 = R, R2 = E1 ВА*=А-*В. (••)
Выражения (**) определяют, как их иногда называют (см. [4]), «дицикличе-ские группы». В частности, ромбической группе (я=2 в (*)) соответствует в качестве двойной известная группа кватернионов (п ==* 2 в (**), см. [3], стр. 182).
J8 Р. Нике, А іолд
274
В. ОПЕХОВСКИИ
2со вокруг всевозможных осей), образуют, вообще говоря, два различных класса. Если в один из них входят элементы, сопряженные элементу Л,
то другой содержит элементы, сопряженные элементу —Л (элементы А и Л-1 = Л*, где звездочка означает комплексное сопряжение, всегда принадлежат одному и тому же классу). Класс поворотов на 180° составляет единственное исключение из этого правила: в U2 ему будет соответствовать только один класс, поскольку в этом случае со = я/2 и, следовательно, Л* = —Л.
На основании сказанного можно сразу сформулировать следующий ряд утверждений, относящийся к произвольной подгруппе G группы /?3.
1) Каждому классу группы G, отличному от класса вращений на 180°, соответствуют два и только два класса группы G+.
[Два класса группы G+, соответствующие классу С группы G, будут обозначаться (согласно Бете) через С' и С". Два элемента G+, соответствующие единичному элементу G (каждый из них образует самостоятельный класс), мы обозначим через E (единичный элемент) и /?. Если элемент Л группы G+ принадлежит классу С', то элемент А~ = RA принадлежит классу С" ]
С другой стороны, классу вращений на 180° могут отвечать один или два класса группы G+*). Какая именно из этих возможностей фактически осуществляется — зависит от структуры рассматриваемой группы. Именно:
2а) Для того чтобы классу Cn группы G соответствовали два класса в G+, необходимо и достаточно, чтобы в группе G не существовало вращения на 180° вокруг оси, перпендикулярной к какой-либо из осей вращений, входящих в рассматриваемый класс Сл.
*) Сказанное по этому поводу в статье [I]1 § 7, неверно. Там утверждается, что в G+ всегда имеется единственный класс, соответствующий классу вращений на 180° (Cn) группы G. Так действительно обстоит дело для гр>пп, которые рассматривались в [1]. Однако, даже не углубляясь излишне в исследование этого вопроса, можно заметить, что для ромбоэдрической группы, например, положение оказывается иным. В самом деле, эта группа содержит шесть элементов, распадающихся на три класса, один из которых есть C1; соответствующая ей двойная группа содержит 12 элементов, которые, согласно Бете, должны быть распределены по 5 классам. Но это невозможно, так как нельзя представить число 12 в виде суммы 5 квадратов целых чисел (ср равенство (Не), стр. 278 настоящей работы). Очень простым, но еще более тривиальным добавочным примером служат циклические группы, двойные группы для которых, очевидно, также являются циклическими и, следовательно, имеют столько же классов, сколько и элементов.
