Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Элементы LuM- сопряженные, так как K~lLK = М; самосопряженных элементов нет
12
Класс
Множество C1 всех сопряженных друг другу элементов. Самосопряженный элемент сам по себе образует класс. В частности, это относится к тождественному элементу E
Классы: C1 == {E]1
C2 = U, Kl C3 = {Ly My N}
14 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП [Ч. !
Продолжение таблицы /.2
Термин
Определение, примечания
Примеры из D3
13
Умножение классов
Произведение Cfij есть
множество всех произведений элементов данных классов Ci и Су, совпадающие элементы не опускаются (ср. с определением внутреннего произведения). Произведение всегда содержит полные классы (теорема)
С2С$ ~ 2Сз
14
Сопряженные подгруппы
Подгруппы Hx и H2 группы G называются сопряженными, если существует такой элемент X групды G, что H2 = X"1 Н\Х (имеется в виду внутреннее произведение)
Множества {Еу L) и {Еу M) представляют собой сопряженные подгруппы (взять в качестве X элемент К)
15
Нормальная (или инвариантная) подгруппа
Подгруппа H называется нормальной, если H — Х~1НХ для всех элементов X из группы G (имеется в виду внутреннее произведение). Или, эквивалентного// = HX, т. е. правые и левые смежные классы идентичны
Подгруппа элементов {Ey /, К] — нормальная
16
Факторгруппа (заданной нормальной подгруппы
Подгруппа Hn и смежные классы относительно нее. Существует теорема о том, что такое множество есть группа (относительно внутреннего умножения). Отсюда следует, что порядок фактор-группы равен п, т. е. индексу подгруппы Hn
Подгру Hn = {E1 ={L, AU дующую жения:
hn
гппы
/, К] я Cn = 1} образуют сле-таблицу умно-
hn cn
ГЛ. 1] СВОДКА ОПРЕДЕЛЕНИЙ 15
Продолжение таблицы 1.2
Термин
Определение, примечания
Примеры из Di
17
Внешнее (или прямое) произведение группы
Произведение GXG' есть группа, содержащая все возможные упорядоченные пары (х?, Х'})9 где X1 и Х\ - элементы групп GhG' соответственно; операция умножения определяется равенством
Порядок GXG' равен gg*
Подгруппы Hi = ={Е9 /, К) и #2 = {F, U) при перемножении образуют группу C6 = ={(?, ?'), (E9 Z/), (/, B)9 (/, U)9 (K9 E')t (K9 U)I Это — группа шестого порядка; заметим, что она циклическая и порождается элементом (/, U)
18
Изоморфизм
Взаимно-однозначное соответствие между элементами двух групп, которое сохраняется и при умножении. Таким образом, любые две группы, таблицы умножения которых можно сделать идентичными, изоморфны; в абстрактном смысле это — одна и та же группа
Группы Z)3 и C6 (см. выше) не изоморфны. Однако подгруппа {Et J9 К} группы Z)3 изоморфна подгруппе {(E9 Е')9 (J9 B)9 (K9 E')) группы C6
19
Гомоморфизм
Соответствие между элементами двух групп, не обязательно взаимно-однозначное, которое сохраняется при умножении
Соответствие (E9 J9 К)-+E' (L9 M9 N) ->М'
определяет гомоморфизм группы Z)3 с одной из ее подгрупп; например, MN-> WW = В согласуются с MN в / -> В
20
Представление
Любое множество элементов, которое подчиняется таблице умножения; не обязательно, чтобы элементы были различными
Элементы
?=1 L = -1 /«1 -1 К=\ # = -1
образуют представление группы Z)3
часть ii
СИММЕТРИЯ КВАНТОВЫХ СИСТЕМ
ГЛАВА 2
ПРИМЕРЫ СИММЕТРИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Исследование свойств симметрии часто приводит к заметному упрощению и большей «прозрачности» многих физических задач. Широко известный классический пример составляет определение нормальных колебаний линейной трехатомной молекулы (например CO2) [1]. Равновесная конфигурация молекулы изображена на рис. 2.1, а. Начало координат совмещено с центральным атомом массы Al, а два других атома, тоже массы Af, расположены на оси z на одинаковых расстояниях от начала координат. Трансляцию и вращение молекулы как целого мы рассматривать не будем, исследуя лишь возможные колебания ее атомов. Это сразу уменьшает число интересующих нас степеней свободы с 9 до 4 (вращение вокруг оси молекулы физического смысла не имеет). Соответственно, надо найти только 4 независимые нормальные координаты.
Можно указать две важные операции, оставляющие равновесную конфигурацию молекулы неизменной (операции симметрии). Это — отражение в плоскости ху и вращение относительно оси z. Колебания системы удобно изобразить, сделав ее «моментальный снимок» в момент максимального смещения атомов и соединив затем атомы векторами с соответствующими положениями равновесия. Теперь легко найти нормальные колебания, применяя операции симметрии к моментальному снимку.
Продольные нормальные колебания (при которых атомы движутся только вдоль оси г) преобразуются при отражении одним из двух способов. Четное колебание показано на рис. 2.1,6. Внешние атомы движутся в противофазе с одинаковой амплитудой. Внутренний атом остается неподвижным, фиксируя центр масс. Эта картина не изменяется при отражении.
На рис. 2.1, в показано нечетное продольное колебание. В этом случае внешние атомы движутся в фазе; внутренний атом тоже движется, но не в фазе с внешними и с такой амплитудой, чтобы центр масс системы по-прежнему находился в начале координат. При отражении это колебание переходит в
