Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Следует несколько подробнее рассмотреть некоторые пункты, существенные для дальнейшего, и такие, что их трудно уместить в таблицу. Остановимся на них, прежде чем обращаться к применению теории групп в квантовой механике твердого тела.
Теорема о таблице умножения. Каждый ряд или каждый столбец таблицы умножения содержат каждый элемент группы один и только один раз. Эту почти очевидную теорему можно доказать от противного. В гл. 3 эта теорема окажется существенной при исследовании свойств матричного представления групп.
Изоморфизм (см. табл. 1.2, пункт 18). Сила теории групп связана именно с этим понятием. Например, можно показать, что любая группа шестого порядка должна быть изоморфна группе D3 или Ce. Другими словами, нет групп шестого порядка иных, чем эти две. Термин «изоморфизм», однако, не совсем «пуст». Действительно, удобно рассматривать группы, содержащие различные элементы и различные операции, как «разные», даже если их таблицы умножения отличаются только по внешнему виду. Например, множество трехмерных вращений, оставляющих треугольник инвариантным, образует группу относительно последовательных вращений. Множество перестановок трех объектов также образует группу относительно операции последовательных перестановок. Обе эти группы изоморфны D3 и друг другу.
Фактор-группа (см. табл. 1.2, пункт 16). Нужно подчеркнуть, что понятие фактор-группы основано на представлениях о нор-
*) Это соответствует обозначениям Шенфлиса для точечных групп (см. гл. 9).
ГЛ. 1]
СВОДКА ОПРЕДЕЛЕНИЙ
11
мальной подгруппе и смежных классах. Возьмем, например, подгруппу Ни которая не является нормальной, вместе с ее правыми смежными классами Rt. Это множество группы не образует. В сказанном можно сразу же убедиться с помощью первой из групповых аксиом. Действительно, чтобы рассматриваемое множество было группой, произведение RiHi также должно входить в него. Ясно, однако, что RiHx будет не правым смежным классом, а некоторой смесью левых.
Можно доказать, что порядок фактор-группы равен g/h = п. Порядок группы, соответственно ее нормальной подгруппе и смежным классам, определяется схемой:
I ....1••••1••••J...і••
h злементоб Смежный Смежный Остаток yjjjj_класс 1 класс2___/
д элементов
Во-первых, видно, что каждый смежный класс содержит h элементов, причем все они различны и все отличаются от элементов Hn (докажите это от противного). Далее, аналогичным путем показывается, что никакие два смежных класса не имеют общих членов. Из этого следует, что можно разделить смежные классы на блоки из h элементов, как показано на диаграмме, и этим будут исчерпаны все элементы группы без остатка. Действительно, допустим противное. Тогда элементы остатка должны были бы входить в некоторый новый смежный класс, они все были бы различны и их было бы h штук!
12 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ГРУПП [Ч. !
Таблица 1.2. Определения
Термин
Определение, примечания
Примеры из D3
1
Группа
Группа G есть множество эле-ментов и операция, которые удовлетворяют следующим аксиомам: 1) замкнутости, 2) ассоциативности, 3) существования тождественного элемента, 4) существования обратного элемента
2
Порядок группы
Число различных элементов в группе (может быть бесконечным)
6
3
Порядок элемента X
Наименьшее число P такое, что Хр — Е. Последовательность {X9 X2, ..., Хр = E) называется периодом элемента X
Порядок элемента / равен 3; порядок элемента M равен 2 (период элемента / есть {J1KtE})
4
Подгруппа
Подмножество G9 элементы которого сами по себе образуют группу относительно той же операции
Например, подмножества {E9 /, Kl {E9 N)
5
Собственная подгруппа
Любая подгруппа, не совпадающая с G и E (две последние именуются несобственными)
...
6
Абелева или коммутативная группа
Для всех элементов группы имеет место равенство XY = YX
Группа D3 не абелева. Ее подгруппы абелевы
7
Внутреннее произведение
Пусть даны два множества элементов группы G; тогда
{xt у,...}{Г, г, ...ь
-дат, XY', КГ,..., причем учитываются только различные элементы}
{/, К} {L9 M) = {L9 M9 N}
ГЛ. і]
СВОДКА ОПРЕДЕЛЕНИЙ
13
Продолжение таблицы 1.2
№
Термин
Определение, примечания
Примеры из Dj
8
Правый (или левый) смежный класс относительно подгруппы H
Все различные внутренние произведения HX (или XH)
Левые смежные классы относительно подгруппы {Ey N] суть {Б, Nl {Jy М}у {К, L}; правые смежные классы относительно подгруппы {Ey N] суть {Ey N}y {Jy L}y {К, M)
9
Индекс п подгруппы H
n = g/h, где g — порядок группы G и h — порядок подгруппы Н. Существует теорема, гласящая, что /г — всегда целое число
Индекс подгруппы {Ey Jy К} равен 2
10
Циклическая группа
Группа Gy все элементы которой могут быть представлены в виде Zm, где Z-любой элемент Gy a m—ly 2,g. Все группы первого порядка — циклические. Говорят, что элемент Z «порождает» группу G
Все собственные подгруппы D3 — циклические
11
Сопряженные элементы
Элемент А называется сопряженным элементу В, если в группе G найдется такой элемент Xy что В = Х~[ЛХ. Если А = X"1 AX для всех элементов X в группе Gy то А называют самосопряженным элементом
