Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Во многих задачах физики твердого тела оказывается справедливым следующее предположение: любой сдвиг координат на основной вектор решетки по существу переводит конечный кристалл в самого себя. Иначе говоря, многие свойства конечного кристалла — такие же, как и у бесконечного. Выполним, например, трансляцию на вектор -f?i (рис. 12.8). Видно, что наше предположение
справедливо для всех атомов кристалла, кроме тех, что расположены в двух поверхностных слоях. Однако при трансляции на вектор N\ui (которая также разрешается!) кристалл вообще окажется вне своих старых границ. В этом случае, очевидно, необходимо дополнительное обоснование. Мы не только разрешим сдвиг на вектор Nxau но и будем считать, что это вообще не есть преобразование (или, что сводится к тому же, будем считать это преобразование единичным).
Здесь возможны две точки зрения. 1) Трансляция на вектор Nxa\ есть сумма последовательных трансляций на основной вектор ах\ предполагается, что при каждом таком преобразовании можно отрезать правый граничный слой и поместить его по левую сторону кристалла; физически существенные результаты при этом заметно не меняются. Таким образом, мы всегда отождествляем (N1 + &)-й слой с k-м слоем. 2) Существует бесконечная последовательность «призрачных» кристаллов,
-N1 ячеек
Рис. 12.7. Реальный трех мерный кристалл без де фектов.
$ Р. Нокс, А. Голд
Ill
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
(Ч. IV
примыкающих к данному и обладающих полностью одинаковыми с ним свойствами.
Первая точка зрения, вероятно, более популярна; в одномерном случае она допускает очень простую наглядную интерпретацию. Именно, здесь можно на самом деле согнуть «решетку» из N\ узлов в кольцо, после чего (N + &)-й атом фактически совпадет с А-м. В трехмерной задаче, однако, эта попытка наглядного толкования оказывается, очевидно, менее успешной.
На языке теории групп наше утверждение означает, что преобразования координат Tj = uj входят в точную группу симметрии конечного кристалла:
Tf = г,+ a,. (12.3)
Трансляция на вектор (12.1) описывается оператором
% = ТЇТ^ТЇ (12.4)
(элементом группы трансляций), так что
%r = r + Rp. (12.5)
Индекс р здесь, как и в формуле (12.1), обозначает упорядоченное множество чисел {п{п2Пг}.
Далее — и это очень существенно—мы потребуем, чтобы при трансляции в каждом из главных направлений выполняю"!.
Рис. 12.8. Вид конечного кристалла вдоль оси а3. Пунктирными линиями показано, что мы увидели бы в системе координат, сдвинутой вправо на вектор й\.
условие
TfJ = E
(/=1, 2, 3).
Это есть не что иное, как точная математическая формулировка циклических граничных условий (условий Борна — Кармана). Подробное их физическое обоснование выходит за рамки этой книги. Великолепную трактовку этого вопроса можно найти в книге [2] (Приложение Л). Для наших целей достаточно знать, что при изучении объемных свойств кристалла этими граничными условиями можно пользоваться почти всегда*), коль скоро а) соотношение между поверхностью и объемом кристалла пренебрежимо мало и б) дальние силы взаимодействия между атомами на поверхности и в объеме кристалла не играют существенной роли.
*) Исключение составляют, например, задачи статической теории упругости [3]
ГЛ.13] ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП Ц5
ГЛАВА 13
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЦИКЛИЧЕСКИХ ГРУПП 13.1. Общая теория
В гл. I мы определили циклическую группу как такую, все элементы которой имеют вид Ап. Здесь А — какой-нибудь из элементов группы. Примером такого элемента может служить преобразование Tj1 введенное в предыдущей главе. Любую трансляцию в направлении вектора аи оставляющую решетку инвариантной, можно получить с помощью последовательного ряда таких преобразований. Желая воспользоваться нашей групповой техникой, мы должны теперь исследовать неприводимые представления циклических групп.
Циклическая группа — абелева, что непосредственно следует из ее определения. В абелевой группе каждый элемент сам по себе образует класс, так как для любых двух элементов данной группы G1 А и X мы имеем Х~]АХ = Х~1ХА. Поэтому циклическая группа порядка Nj содержит N1 классов и Nj неприводимых представлений. Из формулы (3.25) следует тогда, что все эти представления одномерны. Соответственно нам надлежит построить следующую таблицу:
Неприводимое представление
Классы
E
2
/Vi-I
T1I
й
і
і
1
і
1
* 1
1
•
8*
Литература
1. М. J. В u е г ge г, X-ray Crystallography, New York, 1942.
2. М. Б о р н, X у а н К у и ь, Динамическая теория кристаллических решеток, ИЛ, 1958.
3. М. La х, The Relationship between Microscopic and Macroscopic Theories of Elasticity, Proc. Copenhagen Conf., 1963.
!!б
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
[ч. iv
Мы отошли здесь от обычного обозначения Гі для тривиального представления по причинам, которые вскоре станут ясными. Чтобы заполнить таблицу до конца, заметим, что возможные
представления Гу(7\,) существенно ограничены условием Г/7 = =?; последнее означает, что
