Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Решетки, представленные на рис. 12.1 и 12.2, существенно отличаются друг от друга. Заметим, что вращение на 90° в плоскости рисунка совмещает квадратную решетку саму с собой, чего нельзя сказать о решетке, представленной на рис. 12.1. Очевидно, группа симметрии квадратной решетки содержит больше элементов. Полная симметрия определяется относительными длинами векторов а, и A2 и углом между ними. Легко выделить несколько частных случаев: а, = а2у 0 = 90° (прямоугольный); а\ = а2у 6 = 60° (гексагональный) и т. д. На рис. 12. і а\ ф а2 и угол 6 не кратен 60° или 90°. Доведя эту классификацию до конца, можно показать, что в двумерном случае существует пять различных случаев, а в трехмерном 14 [1]. Определенные таким образом решетки называют решетками Браве. Описание их можно найти в любом учебнике по физике твердого тела, к мы будем считать, что читатель с ними знаком.
"(А)-(А)-(X)-(Х>_
Рис. 12.2. Двумерная квадратная решетка с базисом.
*) Не путать с базисом представления. **) Иногда удобно выбирать базис иначе, не связывая его непременно с атомами внутри данной примитивной ячейки (см. рис. 12.2). Так, начало юординат можно поместить на любом атоме А и любом атоме В — надо лишь последовательно пользоваться этим базисом. Например, базис, альтернативный
1 3
(12.2), задается векторами хА = 2а[9 X? — у в\ + а2*
ГЛ 12]
РЕШЕТКИ БРАВЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
-(J)-(*)-(а)-(Jb
©
Удобно рассматривать некоторые решетки Браве как комбинацию более простой решетки Браве и базиса. На рис. 12.3 показана интересная двумерная решетка Браве*): она соответствует решетке, изображенной на рис. 12.2, с заменой атомов В
на Л; при этом, по условию, а2 = и 9 = 45°. Эти два вектора
полностью определяют решетку. Отметим тем не менее, что можно было бы использовать и другие векторы а\ и а'2 — векторы основных трансляций квадратной решетки, если только задать в ней базис. Роль последнего играет квадрат, в одном из углов и в центре которого расположено по одному атому А. Ячейка, образованная векторами а\ и а'2, имеет более высокую симметрию и называется элементарной. В общем случае элементарную ячейку определяют как наименьший объем, ограниченный векторами основных трансляций и обладающий точечной симметрией данного кристалла (см. гл. 15). В трехмерном случае представлением об элементарной ячейке такого типа чаще всего пользуются в применении к кубическим кристаллам. При этом как гранецентрированную, так и объемно-центрированную решетку можно рассматривать как простую кубическую решетку с базисом. Такой подход удобен в задачах о дифракции рентгеновских лучей.
Симметрия примитивной ячейки часто не полностью отражает симметрию решетки. Так, на рис. 12.4 изображена плоская гексагональная решетка. Наличие оси шестого порядка очевидно; тем не менее примитивная ячейка не гексагональная. Далее, элементарная ячейка в данном случае представляет собой наименьшую по объему гексагональную структуру с узлами решетки на границе; она должна содержать три атома. Симметричная ячейка, или ячейка Вигнера — Зейтиа, определяется так, чтобы объединить привлекательные стороны обоих
*) Надеемся, что читатель отметит следующее обстоятельство: ни одна из систем основных векторов, показанных на рис. 12.3, не является в данном случае наиболее удобной.
Рис. 12.3. Примитивная и элементарная ячейки «центрированной квадратной решетки» (см. сноску).
112
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
[Ч IV
предыдущих случаев. Она содержит один атом и обладает точечной симметрией кристалла. Симметричная ячейка определяется как совокупность точек, расположенных ближе к некоторому заданному узлу решетки, нежели к любому другому
Рис. 12.4. Гексагональная двумерная решетка и ее примитивная ячейка.
Чтобы построить ее, надо восставить перпендикуляры из середин линий, соединяющих данный узел решетки со всеми другими. Тогда наименьшая площадь (или, в трехмерном случае,объем),
Рис. 12.5. Гексагональная двумерная решетка и ее симметричная ячейка.
ограниченная этими перпендикулярами, и есть симметричная ячейка. Пример ее (для гексагональной решетки) показан на рис. 12.5. Наиболее известна трехмерная симметричная ячейка для объемноцентрированной кубической решетки; она изображена на рис. 12.6. Гексагональные грани представляют собой участки плоскостей, которые проведены перпендикулярно к ли-
ГЛ. 12J
РЕШЕТКИ БРАВЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
113
Рис. 12.6. Симметричная ячейка для объ-емноцентрированной кубической решетки.
ниям, соединяющим центральный атом с его ближайшими соседями (вертикали куба), деля эти линии пополам; квадратные грани суть участки аналогичных плоскостей, перпендикулярных к линиям, соединяющим центральный атом со вторыми ближайшими его соседями.
Идеальный кристалл, о котором шла речь выше, бесконечен в пространстве. Реальный кристалл — конечен. Поэтому надо выяснить, к каким последствиям приводит необходимость работать с набором N = = NiN2N3 ячеек в объеме, изображенном на рис. 12.7. Ребра ромбоэдра направлены вдоль векторов основных трансляций и равны, соответственно, N\<xu N2a2l .V3a3. В любом макроскопическом кристалле разумной величины /V^lO6.