Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
следует заменить на ^(LxLy + LyLx). Более сложные операторы требуют еще большего внимания [3].
Возвращаясь к нашему примеру, заметим, что выражение 3z2 — г2 преобразуется как З/2» —У2. Следовательно,
(M \V°2\M') = a(M\3J22-J2\M') (11.14)
и
(M I Vl I M) = а [ЗМ2 - J (J + 1)], (11.15)
откуда
<тИт> = -8«' <!И-|) = -2а. <-|И|> = 10а. (11.16)
Для вычисления коэффициента пропорциональности а заметим, прежде всего, что функцию ^ (Mj) можно построить из функций ф (ftii, ms) при Mj = ті + тя. Воспользовавшись коэффициентами Клебша — Гордана (см., например, таблицу в книге [4]), получим
Таким образом,
тИт>-Т<8' - <гИ3' "т) + у(2. тИ2' Т>- (11Л8)
Заменяя теперь Vl эквивалентным (при действии на /-электрон) оператором 2/2 —/2, находим
(3, -уНз, -y) = ?<3, — 4-|з/1 —/2|3, -|) = 15?,
(11 19)
(2іі-|^|2,і->=Р(2,і-|зЛ-/2|2, 1) = 0.
Здесь ? —новый коэффициент пропорциональности. Одноэлектронную /-функцию можно записать в виде
^(3' " т) e/Wsin3 9 **Ф w-> (1Ь20)
ГЛ 11] ДРУГИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПОЛЯ
107
где Rf — чисто радиальная функция, а «. — спиновая функция (спин направлен вниз). Пользуясь выражением (11.20), можем явно оценить матричный элемент (11.19):
<з,-4Нз,-±ь
оо я
Ь% J R2fr4 dr J sin6 Є (3 cos2 Є ~ 1) sin 9 dQ
--2-ST-2-5----JfcV). (11.21)
J R2fr2dr j sin6 Є sin Є d9 о о
где
oo
<г2>- JRy dr. (11.22)
о
Комбинируя равенства (11.16), (11.18), (11.19), (11.21), имеем окончательно
a=-I-6^г2>. (11.23)
Таким образом, вклад слагаемого V2 в величину расщепления выражен через средний квадратичный радиус /-электрона и через параметр кристаллического поля Аналогичным способом вычисляются и матричные элементы от V°4'> в этом случае, однако, требуется очень большая осторожность при составлении эквивалентных операторов [3]. Таковые указаны в таблице 1 работы [3]. В результате получается
(1|И|1) = 2у, <»И4)--Зу. (|kS||.>-Y. (11-24)
где
8 ,0/ 4\
и
<r<>=jVrfr о
Теперь, если все приближения были физически разумны, мы можем определить параметры кристаллического поля b\ и b\> измеряя величины дублетного расщепления. На самом деле, однако, ситуация, по-видимому, не столь проста: можно ожидать, например, что уровень / = 7/г будет взаимодействовать с основным состоянием, тем самым «зацепляя» его за слагаемые
(11.25) (11.26)
108 ТОЧЕЧНАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЕ ПОСЛЕДСТВИЯ [4. III
с bl и Ь% в гамильтониане. Любопытно, что исходная тригональная симметрия задачи отражается на основном состоянии системы только таким — казалось бы, довольно косвенным — путем.
Теория кристаллического поля с ее приложениями (особенно к теории парамагнитного резонанса) выделилась сейчас в самостоятельную, хорошо развитую область исследования. Мы не будем здесь входить в более подробное ее рассмотрение, отсылая читателя к книгам [5, 6] и обзорам [7, 8]
Литература
1. F. С. von der Lage, Н. A. Bethe, Phys. Rev. 71, 612 (1947). (См. перевод в этом сборнике, статья № 11.)
2. D, G. Bell, Rev. Mod. Phys. 26, 311 (1954). (См. перевод в этом сборнике, статья № 13.)
3. К. W. H Stevens, Ргос. Phys Soc. а65, 209 (1952). (См. перевод в этом сборнике, статья № 12.)
4. В. X е й н е, Теория групп в квантовой механике, ИЛ, 1963.
5. К. Бальхаузен, Введение в теорию поля лигандов, Изд. «Мир», 1964.
6. В. Л о у, Парамагнитный резонанс в твердых телах, ИЛ, 1962.
7. В. В lean е у, К. W Н. Stevens, Rept. Progr. Phys. 16, 108 (1953).
8. К D. Bowers, J. Owen, Rept. Progr. Phys., 18, 304 (1955).
9. E Кондон, Г. Шортли, Теория атомных спектров, ИЛ, 1949.
ЧАСТЬ IV
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
ГЛАВА 12
РЕШЕТКИ БРАВЕ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ БОРНА —ФОН КАРМАНА
Идеальный кристалл бесконечен в пространстве. Он построен из идентичных совокупностей атомов, строго определенным образом расположенных друг относительно друга и относительно некоторых точек пространства. Последние задаются векторами
Rp=п і oi + п2а2 + п3а3. (12.1)
Здесь аь а2у а3 — линейно независимые векторы основных трансляций, а /її, п2, п3 — целые числа. Параллелепипед, построенный
Рис. 12.1. Часть очень простого двумерного кристалла. Заштрихована примитивная ячейка.
на векторах аь а2, а3, называют примитивной ячейкой кристалла.
На рис. 12.1 представлена часть простой двумерной идеальной решетки. В этом случае совокупность, о которой речь шла выше, состоит из одного атома; все эти атомы располагаются точно в узлах, задаваемых векторами п\й\ + п2а2. На рис. 12.2 показан более сложный случай: с каждой точкой /?р = Ліаі + п2Д2
110
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ СИММЕТРИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
[Ч. IV
связаны два атома А и в точке Rp, а второй
В. Первый из них локализован точно в точке R0 + і (tfi + Расстояния от
атомов А и В до точки, с которой они связаны, равны, соответственно,
1
(12.2)
-<А)-(J)-(J)-(L-
Задав эти векторы и тип атомов, обозначаемых символами А и ?, мы тем самым задаем базис*) идеального кристалла**).
В общем случае, когда в примитивной ячейке имеется п атомов, надо вместе с указанием их типов задать и п базисных векторов Xu хп. Базис вместе с векторами основных трансляций полностью определяет положение всех атомов идеального кристалла.
