Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Литература
1. Н. A. Be the. Ann. Physik 3, 133 (1929).
2. L P. Bouckaert, R. Smoluchowski, E. Wigner, Phys. Rev. 50, 58 (1936). (См. перевод в этом сборнике, статья № 4.)
ГЛ. HJ
ДРУГИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПОЛЯ
99
3. W. Opechowski, Physica 7, 552 (1940). (См. перевод в этом сборнике, статья № 9.)
4. J. von Neumann, Е. Wig пег, Phys. Z. ЗО, 467 (1929). (См. перевод в этом сборнике, статья № 1.)
ГЛАВА И
ДРУГИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПОЛЯ
В принципе метод Бете в сочетании с непосредственно применяемой проекционной техникой позволяет полностью описать влияние симметрии кристаллического поля на состояния атомов или ионов, помещенных в данную решетку. Практически, однако, такой подход часто приводит к исключительным вычислительным трудностям. Рассмотрим, например, задачу о выборе базисных функций нулевого приближения. Как мы знаем, они являются партнерами в различных неприводимых представлениях данной точечной группы; удобнее вычислять их с помощью кубических гармоник, введенных фон дер Лаге и Бете [1]. Равным образом, матричные элементы и значения энергии расщепления часто легче вычислять более окольными путями. Главную роль здесь играют два приема: разложение кристаллического потенциала в ряд по сферическим гармоникам и так называемый метод эквивалентных операторов. В настоящей главе мы рассмотрим эти вспомогательные приемы, приведя, в частности, две таблицы. В первой из них (табл. 11.1) даны (в декартовых координатах) сферические гармоники вплоть до значений / = 4. Во второй (табл. 11.2) приведены линейные комбинации сферических гармоник (до / = 4), преобразующиеся по различным неприводимым представлениям группы 0/г. Гораздо более подробные данные такого рода можно найти в работах [1] и [2].
Часто применяется так называемое классическое электростатическое приближение. Оно состоит в том, что потенциал кристаллического поля в точке г записывается так, как если бы он был создан классическим распределением зарядов с плотностью р(г7). Соответствующее разложение по сферическим гармоникам имеет вид
Здесь величины г< и г> обозначают наименьшую и наибольшую из переменных г и ґ соответственно. Допустим, далее, чю
•т*
(г) dr. (11.1)
7*
100 ТОЧЕЧНАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЕ ПОСЛЕДСТВИЯ [Ч III
°" V 4л
8л г
17'-J
Vі _ _ Л.г~*~ x + iy 1 V Sn г
2 ~ К !я К "8 ~
Y-1- 1 /А і/А г (* ~ 'У '2 Мл F 2 г2
Y*~~ У Ы V 2 ^ у2_-./"5~.,/гТ (* + <у)г
Г2_У и» У т —
у-з_-|/ 7 і/ 5 U-'»3
їз ~ V !я V 16 P
,,-2 Л/~Г ЛПЬ Z(X-IyY Г* ~У 4п У 8 ?
у -і , ГТ л /~Г (X - Iy) (5гг Гз ~ У 4я У 16 г3
г»~ У У т ?
vi -.Л7~-./~(* + <У) (5
з_ ~ У 1я У 16 ?
у2 _ т /~ л /ИГ ?(?±??)1 3~ У In У 8
Уз="У IS" У Тб ^
Таблица 11.1. Нормированные сферические гармоники в декартовых координатах (/= 1, 2, 3, 4) Фазы выбраны в соответствии с [9]; (по [5])
гл ii] другие методы в теории кристаллического поля ЮІ
к* ~У ы У Ш —7~
3 і /Т -, f 35~ z(x-iy)3
к« =У ы У Ie —P—
vo_t/9 / I 35г4-30гУг+Зг4 *~ V 1к V Ж ?
YIYI^ ^.....
К3_ ,/ 9 ,/35 z(x + iy)>
r*~~ V к те p
4 -./~9~-./ЗГ (дс + іу)4 4=У 4яГ К Ї28 P
всегда г < г' (т. е. что атом помещен в некоторую «полости» кристалла). Тогда
Vcrys. (г) - S йтг г'кГ(г) / TTP- УГ (/) 01 -2)
или, вводя очевидное определение,
Vcryt(г) - 2 г'УГ(г) а,т. (П.З)
Это есть стандартная форма записи, используемая в теории кристаллического поля. Коэффициенты aj" часто рассматриваются как подгоночные параметры, определяемые из опыта. Заметим, что, подбирая таким путем три или более отличных от нуля коэффициента а™, мы должны соблюдать известную осторожность при применении теоремы фон Неймана и Вигнера о «непересечении» термов одинаковой симметрии.
Очевидно, кристаллическое поле преобразуется по своему собственному тождественному представлению. Следовательно,
Продолжение таблицы UJ
102
ТОЧЕЧНАЯ СИММЕТРИЯ И ЕЕ ПОСЛЕДСТВИЯ
'.4. Ill
Таблица 11.2. Линейные комбинации сферических гармоник (/^4), преобразующиеся как партнеры в базисах неприводимых представлений группы Of1
За ось z принята ось четвертого порядка. Дополнительные сведения можно найти в статьях [1, 2]
Пред-
/
ставление
Партнеры
0
г,
А
1
г,
2
г5
Yf(Yl-Y;2); Yb уґ
2
Г3
3
г.
l/f Yl + УҐ'; К,"'+ /fl* Yl
3
г5
3
г.
4
г5
4
г,
УТ*+уТ«+г;Ч>7т .
4
Гз
4
г.
уТ^/ї^-
ГЛ. 11] ДРУГИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ПОЛЯ 103
P[R(C,)]
Y\
Yt
K43
iYi
Yi
-Y\
Yl
Y0a
=
Yl
YT1
/КГ1
YT2
-кг2
YT3
- /КГ3
YT1
кг4
*) Это есть не что иное, как частный пример составления кубической гармоники (см. [1]).
в разложении потенциала в ряд по сферическим гармоникам содержатся только такие функции уТ> для К0Т0РЫХ представление 0<о содержит тождественное представление данной точечной группы. Далее, в тех или иных конкретных задачах особенности структуры рассматриваемого атома иногда позволяют ограничиться лишь несколькими членами разложения. Рассмотрим, например, атом с частично заполненной d-оболочкой в кристаллическом поле симметрии Oh- Из таблицы характеров группы Oh следует, что представление Гі содержится в DW при / = 0,4, 6, ... Часть потенциала, соответствующая / = 0, полностью сферически симметрична и потому мало интересна, ибо в низшем порядке она приводит только к постоянному сдвигу уровня. Произведение d-функций преобразуется по представлению
