Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем теперь, каким образом можно построить правильные линейные комбинации сферических гармоник,
т
принадлежащие какому-либо типу, при каждом значении /, фигурирующем в наборе данного типа. Это построение осуществляется в три этапа. 1) Составление «групповой таблицы», показывающей, как ведет себя каждый тип под действием каждого элемента группы волнового вектора [остается ли функция данного типа неизменной, что обозначается знаком H-, меняет ли она только знак (—) пли преобразуется в линейную комбинацию других функций того же типа (0)]. 2) Построение «характеристических многочленов» (XM) по X9 у9 z для каждого типа функций и каждого значения /; XM должны обладать трансформационными свойствами, указанными в табл. I. 3) Составление правильных линейных комбинаций СГ; для этой цели надо поделить XM на р; = (х2 + у2 + г2)112 и ортонормиропать полученные выражения. Указанная процедура выполняется ниже для типогс, соответствующих волновым векторам (0,0,0) и (0,0, я/а) в объемноцентрированной решетке. Полученные таким путем правильные линейные комбинации СГ для этих волновых векторов как раз и представляют собой искомые КГ.
Группа рассматриваемых нами векторов есть полная кубическая группа симметрии [5]. Она состоит из 48 элементов: 24 поворотов, образующих инвариантную подгруппу /V, и этих же 24 поворотов с последующей инверсией относительно центра, образующих смежный класс JN. Как N9 так и /,V содержат по няш классов; следовательно, всего имеется 10 неприводимых представлений и десять типов КГ: а, ?, у> 6» є и а'9 ?', у\ о', є'. Они соответствуют пяти «положительным» неприводимым представлениям Гь Г2, Гз, Г5 и пяти «отрицательным» неприводимым представлениям Гі, y2, y'3i Г4, Г5 с размерностями соответственно 1, 1, 2, 3, 3.
Таблица I. Групповая таблица. Поведение типов кубических гармоник при преобразованиях симметрии кубической группы. Знак плюс означает инвариантность относительно данного преобразования; минус означает, что меняется только знак; нуль показывает, что данная функция преобразуется в линейную комбинацию других функций, вырожденных с ней. Для вырожденных типов в таблице указано лишь поведение функций, для которых выделена ось z.
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Класс
Операция
Поворот
а
а/
?
?'
Y
уГ
6
б'
8
E
X
У
Z
Отсутствует
+
+
+
+
+
+
+
+
+
C2
— X
У
Z
Zy
на угол я
+
+
+
X
У
— Z
Xy
на угол я
+
+
+
+
—
—
—
—
— X
У
— Z
у>
на угол я
+
+
+
C2
-у
X
Z
Zy
на угол + я/2
+
+
У
— X
Z
Zy
на угол —я/2
+
+
—
—
+
+
+
+
—
—
X
— Z
У
х,
на угол я/2
—
—
0
0
0
0
0
0
X
Z
-у
Xy
на угол —я/2
+
+
—
—
0
0
0
0
0
0
Z
У
— X
У>
на угол я/2
—
—
0
0
0
0
0
0
— Z
У
X
У>
на угол —я/2
+
0
0
0
0
0
0
У
X
— Z
X = у,
на угол я
+
+
+
+
Z
-у
X
x = zt
на угол я
—
—
0
0
0
0
0
0
— X
Z
У
У = Zy
на угол я
—
—
0
0
0
0
0
0
-у
— X
— Z
X = - у у
на угол я
+
—
—
+
+
—
—
+
+
— Z
-у
— X
X = —Zy
на угол я
+
—
—
0
0
0
0
0
0
— X
— Z
-у
У = - Zy
на угол я
0
0
0
0
0
0
\
г
X
У
I x = y = z,
на угол +2я/3
+
+
+ .
0
0
0
0
0
0
у
Z
X
x = y = z,
на угол — 2я/3
+
+
+
0
0
0
0
0
0
Z
— X
-у
х = -y = Zy
на угол -Ь2л/3
+
+
+
0
0
0
0
0
0
-у
— Z
X
X= -y = z,
на угол — 2я/3
+
0
0
0
0
0
0
— Z
— X
У
X= -у = -zy
на угол 2я/3
+
0
0
0
0
0
0
-у
Z
— X
X= -у--Zy
на угол — 2я/3
+
+
0
0
0
0
0
0
— Z
X
-у
X = у--Zy
на угол 2я/3
+
+
+
0
0
0
0
0
0
У
— Z
— X
X= у = -Zy
на угол — 2я/3
+
0
0
0
0
0
0
J
— X
-у
— Z
Отсутствует
+
-
-
+
-
-
+
+
-
JC2
X
У
— Z
на угол я
+
+
+
+
— X
У
Z
Xy
на угол я
+
JC,
У
— X
— Z
Zy
на угол ±я/2
+
+
+
— X
Z
-у
Xy
на угол ±я/2
+
0
0
0
0
0
0
JC,
-у
— X
Z
X = у,
на угол я
+
+
+
— Z
У
— X
X = Zy
на угол я
0
0
0
0
0
0
JC5
— Z
— X
-у
X = у = Zy
на угол 2я/3
-
-
+
0
0
0
0
0
0
о о
сл п
h
со m X X ЕС m
Є
<< i
p
п о
СП
п
X СГ
гп
X > Л
т X s
аз
CjO
о
сл
306
