Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
63s. b~s (5 = xyz9 xyz9 xyz9 xyz) — вращелия на ± 120° вокруг осей, параллельных диагоналям куба в различных октантах;
Ь2Р (P = ху9 yz9 zxy ху9 yz9 zx) — вращения на 180° вокруг осей, идущих по биссектрисам всех углов между парами осей координат;
/ — инверсия;
0Ai = 1Ki' 0Ai1 (і = х> у> 2); 9i = it>2i (і = X9 у9 z)\
Qp = it>2p
'• Lh>-
—
%z Д >
° O ргЦ—
Рис. 3
4s (s = xyz и т. д.); (p = xy и т. д.). В использованных здесь обозначениях элементов пространственной группы считается, что начало координат совмещено с одним из узлов, изображенных темными кружками на рис 3. Таким образом, в правосторонней системе координат атом, расположенный в начале координат, имеет ближайшего соседа в первом октанте.
Первая зона Бриллюэна здесь представляет собой усеченный восьмигранник, изображенный на рис 4. Точки симметрии всех имеющихся типов обозначены через Г, X1 W и L. Символами 2, Л, A, Z и Q обозначены произвольные точки на линиях симметрии различного типа. В табл. X и XI приведены, для точек X и W9 характеры всех представлений фактор-группы Gk/Tk9 имеющих волновой вектор к. В табл. XII и XIII приведены, для 4' = Д и Z и 4 = 1, характеры всех представлений группы Ок'/Тку имеющих волновой вектор к. Система обозначений совпадает с описанной выше для случая гексагональной пространственной группы.
Для точек Г, L9 Л, 2 и Q9 а также в предельном случае А (Г) представления А при k-*0, группа GkJTk9 или GkJTk9 представляет собой прямое произведение группы трансляций на точечную группу Соответственно, характеры представлений в этих точках можно взять из таблиц, приведенных в работе [1] для обычной гранецентрированной решетки. Для Г и А (Г) никакой неоднозначности при использовании этих таблиц не возникает, ибо
296
К. ХЕРРИНГ
Рис. 4.
матрица, представляющая любой элемент {а\а}у зависит только от а, но не от а. Что касается других точек, то надо выяснить, какому из различных элементов {a|a + f}, отвечающих заданному вращению а, следует приписать характер, указанный для а в таблице из [1]. Для точек Л и S выбор становится однозначным, если принять во внимание, что предельные формы представлений, Л (Г) и S (Г), должны совпадать с приведенными в [1]. Пусть группа волнового вектора для точки Л или S содержит элемент {а I а} и пусть п есть наименьшее целое число, для
которого ап = е. Выберем затем вектор t так, чтобы {а\а + t}n = {е|0}. Очевидно, элементу {а I а + /} нужно сопоставить тот же характер, что и указанный для а в таблице из работы [1].
Относительно точек L и Q заметим, что элементы группы gl (содержащей gq в качестве подгруппы) представляют собой произведения трансляций на преобразования некоторой точечной группы симметрии. Последняя соответствует точке, лежащей посредине между двумя ближайшими соседями, выбранными так, что линия, их соединяющая, параллельна линии yl. Мы можем, следовательно, выбрать некоторую точку такого типа и приписать каждому точечному преобразованию ее группы тот же характер, чго и в таблице из [1]. Характеры, найденные таким путем, не будут зависеть от конкретного выбора точки. Действительно, любые две такие точки должны отличаться на основной вектор решетки, так что соответствующие вращения относительно обеих точек принадлежат одному и тому же классу группы GL.
Как видно из табл. XIII, где бы именно на линии XW ни находилась точка Z, единственные элементы группы Gz, характеры которых в представлении Zj отличны от нуля, суть трансляции.
Следует отметить, что точки, расположенные на продолжении линии TK за точку /(, эквивалентны точкам S' на отрезке К'ХУ ибо точки К и К эквивалентны. Поэтому, отождествляя эквивалентные точки в й-пространстве, мы получим следующую последовательность точек при движении вдоль этой линии: Г, /С, Ху —К и Г. Связность здесь простая, ибо каждое представление Sj (Г) возвращается к Sj (Г) при движении от точки Г вдоль этого пути и обратно к Г (ср. со случаем для гексагональной
атомами ¦
ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ 297
Таблица X
32
-V,
*2
*4
1
[г |0}
2
2
2
2
1
-2
-2
-2
-2
4
{U2^ *2г I 0. txy)
0
0
0
0
1
{O2V |0}
2
2
-2
-2
1
-2
-2
2
2
4
0
0
0
0
2
0
0
2
-2
2
0
0
-2
2
2
0
0
0
0
4
{P,/, Рг I t. T + ^1,}
0
0
0
0
2
{PrIt1 T + ^)
0
0
0
0
4
0
0
0
0
2
2
-2
0
0
2
-2
2
0
0
Здесь т =— {tXy + tyZ + *гл>) есть вектор, идущий от атома, находящегося в начале координат, к его ближайшему соседу в первом октанте.
Таблица XI
32
W1
1
{в 10}
2
1
{8 I *yz)
-2/
1
і*\*ху)
-2
1
{Є I tzx)
2/
2
{*2zl0, Jj4,}
0
2
{^22 I * j,**
0
4
{<W I T + tyz, T + fzr}, {O2 xy I t, T + ^}
0
4
{62*,,|*. T + ^ {62^|Т + ^, Х + Ігх}
0
8
K> ^1K V
0
4
{Рд: I t, T + f {Р|, I T + iyz% т +
0
4
{Рл: 11H- /уг. т + {Ру I Т. T + ^1,}
0
Вектор t определен так же, Как в та б і X.
