Симметрия в твердом теле - Нокс Р.
Скачать (прямая ссылка):
и (О2.
Вектор T2 определен так же, как в табл. II (или в табл. III).
Таблица IX
16
S1(L)
T1(M) T2(M) ТЪ(М) T4(M)T1(T) T2(T) T3(T) T4(T)
{« 10}
{*|'|}
{P I о, U)
KK *2 + 'l}
1
1
1
1
1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1
1
1
1
1
1 1-1-1 1-1-1 1 1-1 1-1
Характеры произведений указанных классов на {е | *3} получаются из табличных умножением на —1.
ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ
293
{*6І*}, {&б1|т}, {&6|t + M и {бе 1I т + *|}. Нижний индекс І всегда принимает три значения: 2, 3, 4. Так, в табл. I символ {Р*|0} обозначает {P2(O}, {Рз|0} и {р^О}. По некоторым соображениям удобно характеризовать представления не только численным нижним индексом, но и добавочным верхним индексом + или —. Характеры для представлений с индексами + или — приведены в одном и том же столбце. Буквой о) обозначена величина е2яг/3.
В связи с таблицами следует отметить несколько обстоятельств. Как явствует из рис. 1, поворот зоны Бриллюэна на 30° по часовой стрелке поставил бы точку К против одного из светлых кружков; для точки, диаметрально противоположной /(, которую мы можем обозначить через —А', потребовался бы поворот против часовой стрелки. Это различие между К и —К обусловлено тем, что мы определенным образом выбрали начало координат. Если поместить начало координат в один из атомных узлов, изображенных светлыми кружками, точке К соответствовал бы, в том же смысле, что и выше, поворот в обратном направлении — против часовой стрелки. Легко убедиться, что характеры для точки —К комплексно сопряжены с характерами для точки К. Аналогично характеры для точек —Я и —Я, диаметрально противоположных точкам Я и Я, комплексно сопряжены с характерами для Я и Р.
Еще одно обстоятельство, которое следует отметить, состоит в следующем. Продлим пунктирную линию TK на рис. 2 за точку К. Тогда точки на продолжении линии будут эквивалентны точкам (типа T) на параллельной линии, проходящей через точку М. Поэтому, отождествляя все эквивалентные точки fe-npo-странства, мы можем сказать, что, двигаясь налево из точки Г, мы попадем сначала в К, затем в М, затем в —К и, наконец, вернемся в Г. Аналогично, двигаясь налево из точки Л, мы достигнем, по очереди, точек Я, L, —Я и снова А. Когда мы следуем по этому пути, каждое представление Г, (Г) в таблицах VIII и IX непрерывно переходит в Tj(K), Tj(M) и, наконец, возвращается к исходному виду Tj(T). Для точек S на соответствующей линии в верхней грани зоны Бриллюэна имеется только одно неприводимое представление Si, поэтому, начиная с Si (Л), мы, конечно, получим в итоге снова Si (Л). Такая же простая связь прослеживается и в табл. VII для представлений Sj, отвечающих точкам S на линии Г7ИГ, а также и для представлений Rj (отвечающих точкам R на линии ALA).
Для вертикальных линий, однако, соотношения связности сложнее. В табл. IV, например, при движении вверх от точки Г до А представление Ді(Г) непрерывно переходит в Ді(Л) (за
294
К. ХЕРРИНГ
направление вверх на рис. 2 мы принимаем направление вектора fi). Продвижение в том же направлении на такой же отрезок снова приводит нас в точку Г, но представление Aj (А) при этом непрерывно переходит в Д2(Г). Поэтому представление, обозначенное через Ai(Л), в действительности связано с Aj(T) не больше, чем с Аг(Г), и тот или иной индекс приписывается представлению в известной мере произвольно. При движении вверх вдоль линии ГЛГ мы обнаруживаем три цикла подобного типа:
A1 (Г) -* A1 (А) -* A2 (Г) - A2 (А) -* A1 (Г), A3 (Г) -* A3 {A) -> A4 (Г) -> A1 (А) -> A3 (Г), A5 (Г) -> A5 {A) -> A6 (Г) -> A6 (А) -> A5 (Г).
Аналогично, рассматривая табл. V, мы находим при движении вверх вдоль линии KHK:
P1 (К) -* Pi (H) -* P2 (К) - P2 (H) P1 (К), PM)-+РАН)-+P3(K).
Наконец, согласно табл. VI, при движении вверх вдоль линии MLM мы имеем
Ux (M) Ux (L) U2 (M) U2 (L) U1 (M)9
U3(M)U3(L)U4(M)->U4(L)->U3(M).
Пространственная группа D]1 (структура алмаза)
Группа трансляций в данном случае отвечает гранецентрированной кубической структуре, порождаемой тремя основными векторами txy, tyz и tzx> параллельными диагоналям граней куба. Эти векторы изображены на рис. 3, где показано также расположение атомов в простейших кристаллах этого типа*). Наиболее отчетливое представление о том, как расположены атомы, можно получить, рассматривая совокупность двух гранецентри-рованных кубических решеток, сдвинутых друг относительно друга на четверть диагонали куба. Для того чтобы помочь читателю мысленно представить себе эту картину, мы изобразили узлы одной из этих решеток темными кружками, а узлы другой
*) В терминах элементов пространственной группы эти положения атомов можно охарактеризовать как точки, обладающие симметрией тетраэдра (точечная группа Td).
ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ
295
решетки — светлыми кружками. Ниже перечислены точечной группы, сгруппированные по классам.
элементы
6Г1
»4*
(i = X9 у9 z) — вращения на ± 90э вокруг осей X9
*4Ь
У и z\
*>2i = &4І (/ = X9 у9 z)\
