Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
обратиться к [38, IV].
Как уже было упомянуто, мы тривиализовали T*G, взяв его в виде G X G*.
Пусть <р - отображение, которое приписывает координаты (g, p = r*#gpg)
элементу pg в T'G. К - это группа симметрий, с помощью которой мы будем
редуцировать T'G. К действует слева на T*G, и в тривиализации для k<=K
(k, g, p)-+(kg, Ad*_ip), (5.218)
что в матричном представлении есть (kg, k\\,k~x). Отображение моментов
для левого действия К на T*G
J: T*G -*• k*
записывается в координатах в виде
(5.219)
где ц |к означает, что р = KRgVg должно лежать в К' и поэтому должно быть
ограничено на К. Если мы отождествим G* с G, К* с NL, то это означает,
что внутреннее произведение р|к с любым элементом N есть нуль. При
тривиализации отображение моментов есть
7 = J ¦ ф-1 ; (gt р) -> р |к. (5.220)
Теперь введем набор уровней 7_1(е) для элемента е, принадлежащего К * -
N1.
J~1(z) = {(g, й)|рк==е),
что из-за отождествления G* и G можно записать как
rl(e) = GX(e + v}, (5.221)
где v - это любой элемент К1.
Затем мы определим подгруппу изотропий Ке элемента е. Можно показать, что
это есть К. Важно, что е выбран так, что
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
285
6 и = 0- Тогда в 7 1 (е)//Се всякий элемент (g - K~ln, e + v) набора
уровней 7-1 (е) эквивалентен при действии К элементу, у которого первая
координата лежит в А, т. е.
(k~ln, е + v) ~ (п, А).
Я уже говорил, что удобно писать g как k~ln. Но что такое Л? Чтобы
отделить k~l от k~ln в первом элементе, естественно подействовать k на
(A+n, e + v). Но мы уже знаем, что действие это таково:
k (k~xn, е + v) = (п, Ad^_i (е + v)). (5.222)
Нетрудно показать, что Ad^_i(e + v) также принадлежит е + А*. В матричных
обозначениях это ?(e + v)?~+ ясно, что как к, так и krl могут быть
записаны в виде рядов по степеням ?-/, начиная с единицы при j - 0, и так
как e + v принадлежит е + А*, то ?(e + v)?-1 тоже принадлежит е + А*.
Последняя (пуассонова) редукция, осуществляемая с по-мощьк^правого
действия А, попросту убирает групповой элемент п из АХ (е + А*). Из-за
того, что действие К коммутирует с действием А (они действуют с разных
сторон) и А оставляет 7-1 (е) неизменным, то эта редукция тривиальна.
Следовательно, элемент общего вида в редуцированном фазовом пространстве
е + А* = е + Ах задается формулой ?(e + v)A-1-
Временные потоки k и e + v задаются (5.215а) и (5.217); а именно, - это
левый множитель элемента
ехр (-i tjt/Н) g0, a e + v - интеграл движения, выбранный нами в виде е =
-iHt,. Следовательно, движение точки ц, которую мы обозначали ?Q(//), в
редуцированном фазовом пространстве е + А* будет (после выбрасывания
множителя ?) таким:
Q(t,) = k(t,)(-iH)k-'(t,). (5.223)
Шаг 4. Сейчас полезно отождествить элемент k(tj) с элементами, которые
нам уже встречались. После несложных вычислений перепишем (5.223) в виде
Qtj = [ktjk-\Q\ (5.224)
Но из (5.217)
gtt = - it/Hg - - k~'ktjk~xn + kntj, что записывается также в виде
Vk (- /Я) k~] = - ktjk~' + т /п~] (5.225)
286 Глава 5
Каждый член в (5.225) - это элемент G. Возьмем проекцию на N и найдем
ГИЛ'1 = П tfk (- iH) k~l = Ш'<2 (*/) = QU) (5.226a)
1 N N
в согласии с (3.48) и (5.52). Следовательно,
kt/ = QU)k + k(iH? >). (5.226b)
Теперь вспомним собственную функцию V из разд. 5е. Чтобы вычислить ее
асимптотическое разложение, мы записали ее как V ехр (- i X QtjH), где V
удовлетворяет (5.226Ь). Фактически (см. (5.88)) Q = V (- iH) У-1 = V (-
iH) К-1, потому что экспоненциальный множитель в V коммутирует с Н.
Поэтому элемент k - это просто V, т. е. левый множитель V, записанный в
виде асимптотического разложения вблизи ? = о°. Затем посмотрим на
соотношение (5.224). Это
Qtj = [QU), QI (5-227)
- уравнение Лакса (5.52) для семейства si(2, С). Итак, временные потоки
элемента ?Q, принадлежащего е + N*, полученные как редукции линейных
потоков на T*G, те же самые, что и определенные с помощью гамильтоновых
векторных полей в разд. 5с.
Шаг 5. Как нам "решить" (5.227)? При заданном Q(0) вычислим матрицу &(0),
которая определяется с помощью
Ad'k_t<o)(-iH) = Q(0), (5.228)
т. е. &(0)(-г#)&~1(0) = Q(0). Именно тот факт, что мы всегда можем найти
такую к(0), для которой матрица ?Q(0) будет подобна --г#?, и позволяет
нам взять е = -Ш? без потери общности. Мы можем также взять гс(0)=1;
определенная таким образом матрица k(0) не будет единственной, так как
она может быть умножена справа на любой множитель, коммутирующий
с Н. Но это не важно. Мы можем взять любую &(0) в
этом
классе эквивалентности, так как коммутирующий с Н правый множитель
матрицы ?(0) превращается в левый множитель матрицы к~х (0) и поэтому
коммутирует также с временной зависимостью g (см. (5.229) ниже). Поэтому
этот множитель попросту включается в правый постоянный множитель при
k(t,), и поэтому он не вносит вклада в Q(t,) при вычислении с по-
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
287
мощью (5.223). Читатель мог уже заметить, что матрица k(t/), которую мы
