Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
JVX(e + M*) (N - это подгруппа G, ассоциированная с подалгеброй N, a N*
двойственно к N) с канонической симплектической структурой. Тогда пуас-
сонова редукция к е + N* тривиальна. Типичный элемент второй компоненты в
jVX^ + N*), который есть матрица Q (см. (5.45)), помноженная на ?, будет
эволюционировать согласно (5.210) и удовлетворять уравнению Лакса (5.52).
В-четвертых, мы отождествим k{tj) из (5.210), обратную степень левого
мно-
282 Глава 5
жителя элемента g(ij), с матрицей К(^), определенной в разд. 5е.
Наконец, на пятом шаге мы обсудим, как решить уравнение Лакса (5.52)
алгебраически. Наиболее важный шаг, как мы увидим, - это разложение
группового элемента g в krlti. Это разложение и есть алгебраическая
аналогия задачи Римана - Гильберта, которая, как вы помните, явилась
главным шагом при построении фундаментальной матрицы решений Ф из данных
рассеяния в разд. 5f(i). Найдя k, мы получим решение уравнений Лакса. Из-
за того что эти шаги требуют введения целого ряда новых математических
идей и обозначений, я попытаюсь обсудить результаты на языке, уже
знакомом читателям этой книги. Читателя, который заинтересуется
дальнейшим изучением деталей, я отсылаю к четвертой статье из нашей серии
"Алгебра Каца - Муди и солитонные уравнения" [38].
Я хочу отметить, что замечание о том, что потоки АКНС являются редукциями
более простых потоков на больших многообразиях, не является введенной
нами новинкой. Я сошлюсь на статьи Реймана и Семенова-Тян-Шанского [106];
эти идеи также весьма близки к идеям, которые использовали Костант,
Каждан, Стернберг [100], Мозер [107] в связи с цепочкой Тоды, системами
Калоджеро и Мозера - Сюзерленда; они также тесно связаны со схемой
одевания Захарова - Шабата [108]. Мы (Флашка, Ратью и автор) впервые
включили в общую картину потоки, которые соответствуют отрицательным
временам tk, &<0 (потоки уравнения sin-Гордон). Я буду это обсуждать в
следующем разделе. А сейчас я хочу поподробнее разработать шаги от
первого до пятого.
Шаг 1. Мы осуществляем (правую) тривиализацию расслоения T*G,
отождествляя его с GXG*, где G* - пространство, двойственное к алгебре Ли
G = TeG, т. е. к пространству, касательному к G в единице этой группы.
Отождествление производится следующим образом. Берем кривую е^, ^eG,
проходящую через единицу группы G, и берем ее касательный вектор
(d/dt)ef^\t=o в этой точке. Перенесём касательный вектор с помощью
правого действия g и назовем этот элемент TeRg%. В матричном
представлении, когда ?esl(2, С) и определитель g равняется единице,
TeRgl,- это просто Затем мы задаем для элементов цг е r*G, лежащих в слое
над g, координаты (g, р), р е G*, где
(р, l) = (ng, TeRgl), (5.212)
а <•, •> - это спаривание между G и G*. Правая часть может быть записана
как (T*Rg\ig, ?>, откуда \х = T*Rg\ig', т. е. р явля-
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
283
ется элементом G*, слоя в единице, который под действием правого переноса
с помощью g переносит (е, р) в pg.
Шаг 2. Пусть Ф(р)- Ad'-инвариантная функция на G*, т. е. Ф(?Г'р?) = Ф(р)-
Как вы помните, в разд. 5с мы очень скоро отождествили G* с G, ибо на
самом G можно было ввести внутреннее произведение. В этом случае Ф(Х)
была Аб*-инвариант-ной на G функцией, если Ф(е*уХе~*у) = Ф(Х) для всех X,
Уе G и вещественных t. Это условие выражалось как [УФ(А), Х] = 0. Здесь
такое же обозначение расшифровывается так: Ф - это Ad'-инвариантная
функция на G*, если ф(е~*гХе*г) = Ф(Х) для всех XeG*, УеС. Мы расширяем
Ф(р) на Т*Ь следующим образом:
Ф0д = Ф(р). (5.213)
Теперь можно работать с потоком, заданным на T*G\ детали даны в [38, IV].
Это просто прямолинейное движение
Р = 0, (5.214а)
S = TeRe^, (5.214b)
которое в матричных обозначениях записывается в виде
й = ^Г§- (5.214с)
Здесь бФ/бр, элемент из G, - это градиент Ф по р, т. е. ДФ(р) = = <бФ/6р,
р>, где Т)ф(р)-производная Фреше ф по р. Интегрируя (5.214), получим
Р = Ро. (5.215а)
g = exp(/-^)^0. (5.215b)
Обратите внимание на связь с временным потоком для переменных действие -
угол. Переменные действия (новые импульсы) есть интегралы движения, тогда
как аргументы новых координат, угловые переменные, меняются линейно по
времени. Это в точности подобно поведению данных рассеяния в (5.98). Без
потери общности можно взять -в качестве матричного представления для р0.
Далее, если Ф(р) - это Ф/_ь т. е. ?-/+1-компонента в разложении -(Л2 +
е/), то это Аб*-инвариантная функция, и по отношению к форме Киллинга <•,
->0
6Ф
284 Глава 5
Далее, как функция всех времен
g = ехр (- i Yj ZftjH) go- (5.217)
Шаг 3. Теперь доведем до конца симплектическую редукцию расслоения T*G с
помощью К и элемента в, принадлежащего К* = KL. Оказывается, более удобно
использовать первую гамильтонову структуру и выделенный элемент е, равный
-iH%. Я не буду проделывать все вычисления подробно, а просто вкратце
изложу результаты. Для более подробного обсуждения читателю следует
