Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Николис Дж. -> "Солитоны в математике и физике" -> 97

Солитоны в математике и физике - Николис Дж.

Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике — М.: Мир, 1990. — 323 c.
Скачать (прямая ссылка): solitonivmatematikeifizike1990.pdf
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 113 >> Следующая

новую книгу Марсдена, Ратью, Вейнстейна, Шмидта и Спенсера.
Пусть нам дано симплектическое многообразие Р с группой симметрий G,
действующей на Р каноническими преобразованиями, т. е. действие G
сохраняет 2-форму со на Р. Пусть G - алгебра Ли группы G, a G* -
пространство, двойственное к G.
'*) Речь идет о симметриях, сохраняющих гамильтониан. Если же понимать
симметрию как уравнение, коммутирующее с исходным, то соответствующих
интегралов движения может и не существовать. Примером может служить
преобразование подобия. - Прим. перев.
280
Глава 5
Тогда отображение моментов J, приписанное к точке многообразия Р,
принимает значение в G*; а именно, J есть вектор, принадлежащий G*,
перечисляющий все интегралы движения. Набор уровней /-'(р), т. е. набор
точек р в Р, для которых J(p) = - р, является многообразием и инвариантен
относительно ко-присоединенного действия подгруппы изотропии Gu группы G;
а именно, (7ц - это набор geG, такой что (в матричном представлении) gpg-
1 = р. Тогда теорема Марсдена -- Вейнстейна утверждает, что
факторпространство Рц = /_1(ц-)/Оц - это сим-плектическое многообразие со
своей симплектической формой сои, индуцированной со. Ри - это
редуцированное фазовое пространство. Кроме того, если Ф - функция
Гамильтона на Р, инвариантная относительно действия G, то она индуцирует
гамильтониан Фц, на Рц. Если Ft - поток гамильтонова векторного поля,
соответствующего Ф, то из-за Ас1*-эквивариантности 1 (Ас1*-
эквивариантность означает, что J (g ¦ р) = Ad*_1/(p) = = gpg-1, где g-p
обозначает действие G на Р) набор уровней /_1(р) инвариантен относительно
Ft и Ft индуцирует поток Р? симплектических диффеоморфизмов на
редуцированном многообразии Рц. Вторая часть теоремы Марсдена -
Вейнстейна утверждает, что Ft является потоком гамильтонова векторного
поля, соответствующего Фц.
Мы будем использовать также второй тип редукции, пуассо-нову редукцию.
Если задано симплектическое многообразие Р с канонической группой
симметрий G, то фактормногообразие Р/G имеет естественную скобку
Пуассона, индуцированную скобкой Пуассона на Р. Более того, гамильтоновы
векторные поля, соответствующие Ф на Р и ф на Р/G, Ф([р])|=Ф(р)
([р] - это класс реР на Р/G), связаны проектирующим отображением P->P/G,
которое, если оно каноническое, сохраняет скобки Пуассона.
В нашем случае мы берем в качестве исходного многообразия T*G,
кокасательное расслоение группы G, т. е. группы Ли алгебры петель G =
sl(2, С). (Под этим я имею в виду, что каждый элемент G является
экспонентой ехр Щ некоторого элемента | в алгебре. Последующие
рассмотрения, связанные с преобразованиями Бэклунда -Шлезингера из разд.
5g и обсуждаемые в резюме этого раздела, наводят на мысль расширить
группу G, включив в нее некоторые дискретные симметрии в дополнение к
непрерывным, наподобие включения отражения при построении 0(3) из so(3).
Но настоящее определение удовлетворит наши насущные цели.) Многообразие
T*G является, естественно, симплектическим и состоит из базы G, над
каждой точкой g которой висит слой, т. е. пространство, двойственное
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
281
к касательному пространству в точке g. На языке классической механики, G-
это набор координат q, касательное пространство в точке g - это набор
скоростей q, а слой--это пространство импульсов р. Всякий элемент g
группы G может быть единственным образом разложен в произведение (аналог
задачи Рима-на - Г ильберта)
g = k~ln, (5.209)
где k и п - экспоненты от элементов, принадлежащих подалгебрам К и N
соответственно. Запись левого множителя в виде обратного выбрана из
соображений удобства. Группой симметрий, с помощью которой мы
осуществляем редукцию Марсде-на--Вейнстейна на фазовом пространстве T*G,
будет К - подгруппа, соответствующая К. Редуцированным многообразием
будет Л?Х(е + М*), где е -это единственный отмеченный элемент в К*,
который вскоре будет указан. Тогда тривиальное применение пуассоновой
редукции с помощью N редуцирует наше многообразие до е + М*, фазового
пространства разд. 5с. Временные потоки в е + N*, порождаемые
определенными в (5.48) гамильтонианами Ф/, могут быть "проинтегрированы"
и дают
Q Vi) = k (tj) (- iH) k~l (tj), (5.210)
где K~l-левый множитель в разложении элемента g(tj). Мы увидим, что g{tj)
очень просто эволюционируют во временах,
g(tj) = exp(-iZ&1H)g0, (5.211)
где go - k~l (0) и Q(0) = &(0) (-iH)k~y (0).
Мы проделаем эту процедуру за пять шагов. Во-первых, мы тривиализуем
расслоение T*G, представив его как GX G*, и посредством этого наделим его
координатами. Во-вторых, мы возьмем наши исходные гамильтонианы ф, из
разд. 5с, которые Ас1*-инвариантны на G*, и расширим их определение на
все-расслоение T*G. Мы затем используем естественную симплектиче-скую
структуру на T*G, чтобы определить поток, порожденный Ф/. Поток на T*G
будет очень походить на поток, действующий в силу (5.98) на матрицу
рассеяния. В-третьих, мы найдем поток на редуцированном многообразии
Предыдущая << 1 .. 91 92 93 94 95 96 < 97 > 98 99 100 101 102 103 .. 113 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed