Солитоны в математике и физике - Николис Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому интересно, что гамильтоново описание, связанное с алгебраическим
подходом разд. 5с, вполне естественно позволяет ввести две локальные
структуры. Вторую структуру мы получим, если определим форму Киллинга или
внутреннее произведение <X, F) на G как коэффициент при ?-1, а не при ?°,
в выражении для следа произведения XY. Эту форму мы будем обозначать <А,
К)_ь Если мы теперь чуточку подумаем, то поймем, что К1 = К (и так же N1
=N). Как и раньше, существует естественная гамильтонова структура на К1,
которая переносится также на К1 + е, где е - фиксированный элемент G. Мы
выбираем элемент е таким образом, чтобы он содержался в ортогональном
дополнении как к [К, К], так н к [N, А]. Он несомненно принадлежит к
последнему, поскольку написав е -f- К1, мы уже указываем, что е не
принадлежит К1. Поэтому он должен принадлежать N1 и ортогональному
дополнению к [N, А]. Это может быть, только если е = А?°, так как [К, К]
содержит лишь члены р ^ -2, a [N, N] содержит лишь члены р 0; (новое)
внутреннее произведение е с тем и другим равно нулю.
(5.205)
и т. д.,
пространства, которое вариационной гамильтоновой струк-
278 Г лава 5
Если е удовлетворяет этому условию и если Ф - это ad-инвариантная функция
на G, то гамильтоново векторное поле задается с помощью
*ф (X + в) = [я*УФ (X + в), X + в]. (5.206)
Более того, если Ф и ^ - две ad-инвариантные функции на G, то они
находятся в инволюции по отношению к скобке Пуассона на К1 + в. Для наших
целей мы берем
в =-//Г; Фk=----j(SkX, X)0=-±(sk-lX, X)_lt (5.207)
где индексы 0 и -1 обозначают, какое внутреннее произведение мы выбираем.
Тогда Фь+i - это гамильтониан, порождающий поток вдоль tk- Тогда для
Ре/Сх = /( потоки задаются с помощью
Ph ^ ~ [якУФА+1 (в + Р), в + Р] =
= (е -f Р), в -f Р] = [Q<*>, в + Р]. (5.208)
Это в точности те же уравнения Лакса, что и (5.52), если в -f Р = Q.
Основные различия между двумя подходами, связанными с двумя
гамильтоновыми структурами, таковы: (i) гамильтонианы сдвинуты; (И)
элемент ?°, который постоянен вследствие характера действия потоков в
первом подходе, фиксирован раз и навсегда во втором. В нашей первой
градуировке в = -iH, тогда как во второй градуировке, введенной в разд.
5h, в = = -F-\-E/t,. Выбор второй гамильтоновой структуры позволяет
избежать того, что выглядит как довольно произвольный выбор, вроде eo =
fo = 0 в разд. 5с и Л0 = 0 в разд. 5h. Тем не менее хочу подчеркнуть, что
между этими двумя структурами нет существенной разницы, нет также
значительных преимуществ использования одной структуры вместо другой.
В следующем разделе, в котором мы обсудим процедуру редукции, мы
пользуемся первой структурой, где К1 = N*
-f х /С" = Л7Х (х == X и элемент в, принадле-
жащий К*, есть -iHt,. Характерным элементом нашего фазового пространства
теперь будет использованная ранее матрица Q, умноженная на
-IHZ + Q, + -^- + ... = Q?,
где Q, Qi, Q2 и т. д. в точности такие, как раньше.
Связующие звенья между чудесами солигонной математики 279
5j. Метод обратной задачи и задача Римана - Гильберта, алгебраический
подход. Я надеюсь, что к настоящему моменту вы уже убедились, что особые
свойства, которыми наделены интегрируемые системы, являются по своему
характеру алгебраическими. Поэтому уместно спросить, существует ли
алгебраическая аналогия метода обратной задачи или задачи Римана-
Гильберта. Она существует. Основная идея в том, что уравнение Лакса
(5.52) является редукцией более простого потока на большем многообразии,
причем редукция осуществляется при помощи интегралов движения более
простого потока и соответствующих им симметрий с целью получить меньшее
фазовое пространство. За меньшее фазовое пространство приходится платить
тем, что простой поток уже не выглядит столь простым.
В разд. 4с я отмечал, что каждой симметрии гамильтоновой системы отвечает
интеграл движения (теорема Нётер) и наоборот1). Хорошо известные
симметрии, вроде инвариантности гамильтониана относительно трансляций или
вращений, приводят к законам сохранения импульса и момента количества
движения. Группа симметрий соответствует векторам импульса и момента
количества движения, компоненты которых являются интегралами движения и
которые находятся в инволюции друг с другом относительно скобки Пуассона
на динамическом многообразии. Теорема такова: если существует п
независимых симметрий и, следовательно, п интегралов движения в
инволюции, то 2п из 2т переменных фазового пространства можно исключить.
Если п = т, то фазовое пространство редуцируется до одной точки и
движение полностью интегрируемо. Такая система называется полностью
интегрируемой. Эта классическая теорема была исследована в более общей
постановке Марсденом и Вейнстейном [88], а процесс исключения переменных
с помощью симметрий назван редукцией. Грубо говоря, метод состоит из
нескольких шагов. Чтобы получить более полное представление, читателю
следует почитать книги Абрахама и Марс-дена [84], В. И. Арнольда [105] и
